UPHF - INSA HdF
licence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 21 mai 2021
Durée : 3 heures
• À titre d’indication, il est donné pour chaque partie du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué lors de
la correction.
• Il sera accordé la plus grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Rappelez vous en particulier qu’il faut justifier toutes les affirmations que vous mettez dans vos réponses et qu’il faut définir
toutes vos notations, exceptées celles qui sont dans l’énoncé ou bien celles qui sont connues de tous.
Questions de cours (3,5 points)
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n (n ≥ 1). On munit E d’un produit scalaire h. , .i qui en fait
un espace euclidien.
Soit f une forme linéaire définie sur E. Autrement dit, f ∈ E ∗ .
(Q1) Montrer qu’il existe un vecteur v de E, unique, tel que
∀x ∈ E , f (x) = hv , xi.
Indication : Chercher les composantes du vecteur v qui assure l’égalité précédente dans une base or-
thonormale (e1 , · · · , en ) de E.
(Q2) On suppose que f 6= 0E ∗ .
Justifier que vect(v)=ker(f )⊥ . En déduire la dimension de ker(f ).
Exercice 1 (3,5 points)
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie.
Soit g ∈ L(E) tel que
g 3 − 3g 2 + 2g = 0L(E) ,
g 4 + 4g 2 = 0L(E) .
1) a) Factoriser les polynômes U = X 3 − 3X 2 + 2X et V = X 4 + 4X 2 dans R[X].
b) En déduire que le polynôme minimal de g est πg = X.
2) Dire quel est l’endomorphisme g ?
Exercice 2 (3,5 points)
1) Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien quelconque (E, h. , . i).
1
licence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 21 mai 2021
Durée : 3 heures
• À titre d’indication, il est donné pour chaque partie du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué lors de
la correction.
• Il sera accordé la plus grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Rappelez vous en particulier qu’il faut justifier toutes les affirmations que vous mettez dans vos réponses et qu’il faut définir
toutes vos notations, exceptées celles qui sont dans l’énoncé ou bien celles qui sont connues de tous.
Questions de cours (3,5 points)
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n (n ≥ 1). On munit E d’un produit scalaire h. , .i qui en fait
un espace euclidien.
Soit f une forme linéaire définie sur E. Autrement dit, f ∈ E ∗ .
(Q1) Montrer qu’il existe un vecteur v de E, unique, tel que
∀x ∈ E , f (x) = hv , xi.
Indication : Chercher les composantes du vecteur v qui assure l’égalité précédente dans une base or-
thonormale (e1 , · · · , en ) de E.
(Q2) On suppose que f 6= 0E ∗ .
Justifier que vect(v)=ker(f )⊥ . En déduire la dimension de ker(f ).
Exercice 1 (3,5 points)
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie.
Soit g ∈ L(E) tel que
g 3 − 3g 2 + 2g = 0L(E) ,
g 4 + 4g 2 = 0L(E) .
1) a) Factoriser les polynômes U = X 3 − 3X 2 + 2X et V = X 4 + 4X 2 dans R[X].
b) En déduire que le polynôme minimal de g est πg = X.
2) Dire quel est l’endomorphisme g ?
Exercice 2 (3,5 points)
1) Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien quelconque (E, h. , . i).
1
