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Résumé Algebre 1 -Systèmes linéaires
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une résume bien détaillé du ALGEBRE 1 -Systèmes linéaires
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ALGEBRE 1Systèmes linéaires
Dans tout ce chapitre, la lettre K désigne le corps des réels R ou celui des complexes C.
1 Systèmes linéaires
Définition 1.1 Une équation linéaire en les variables x1 , x2 , . . . , xp à coefficients dans K est une
relation de la forme
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + ap xp = b
où a1 , . . . , ap , b éléments de K. Le scalaire b est le terme constant de l’équation. Un
sont des
s1
s2
vecteur colonne . est une solution de cette équation si la relation a1 s1 +a2 s2 +. . .+ap sp = b
.
.
sp
est vérifiée.
Définition 1.2 Soient n, p deux entiers positifs. Un système linéaire à coefficients dans K est
la donnée de n équations linéaires en p variables à coefficients dans K :
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,p xp = d1
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,p xp = d2
.. (1)
.
an,1 x1 + an,2 x2 + · · · + an,p xp = dn
s1
s2
Le vecteur colonne . est une solution de ce système s’il est solution de toutes ses équations.
.
.
sp
Remarque 1.1 Les variables d’un système linéaire s’appellent aussi les inconnues du système.
Résoudre un système linéaire c’est déterminer l’ensemble de ses solutions.
Exemples 1.1 1. L’équation 2x − 3y = 1 admet une infinité de solutions. L’ensemble de ses
solutions est
x
2x−1 , x∈K .
3
1
, 2. Le système
2x + 2y = 1
x+y =0
n’admet pas de solutions.
2 Système de Cramer
Soit A = (aij ), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p la matrice de Mn,p (K) dont les coefficients aij sont ceux
du système linéaire (1). Posons
x1 d1
x2 d2
X = . et B = . .
.
. . .
xp dn
Avec ces notations le système linéaire (1) devient
AX = B.
s1
s2
Ainsi résoudre (1) revient à déterminer tous les vecteurs colonnes S = vérifiant AS = B.
..
.
sp
Dans un premier temps on suppose que n = p et que A est inversible. Avec ces conditions on dit
que le système (1) est un système de Cramer.
Proposition 2.1 Un système de Cramer admet une unique solution donnée par
S = A−1 B.
Exemple 2.1 Soit à résoudre le système de Cramer :
2x + 3y = 1
3x + 5y = 2
L’écriture matricielle de ce système est
x 1
A = ,
y 2
2 3 −1 5 −3
avec A = . Comme A = l’unique solution du système est
3 5 −3 2
−1 1 5 −3 1 −1
A = = .
2 −3 2 2 1
On peut calculer la solution unique d’un système de Cramer sans avoir calculé A−1 .
2
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