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Méthode numérique: Interpolation polynomial
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PROBLÈMEMÉTHODES NUMÉRIQUES
▪ On dispose de (n+1) points expérimentaux (xi , yi),
ANALYSE NUMÉRIQUE (i = 1, 2, 3, …, n+1) qui sont censés suivre une loi
y = (x) inconnue.
CHAPITRE .1. xi x1 x2 … … xn+1
INTERPOLATIONS POLYNÔMIALES yi y1 y2 … … yn+1
SÉANCES .1. & .2.
▪ On désire estimer une valeur y correspondant à
une valeur x xi (pour tout i) arbitraire.
Hakim En-Nefkhaoui Hakim En-Nefkhaoui Méthodes Numériques 2
EXEMPLE .1. APPROCHE À ADOPTER
En relevant toutes les 10 secondes la vitesse Une manière de faire consiste à :
d’écoulement de l’eau dans une conduite Construire un polynôme p(x) qui passe par les
cylindrique. On a obtenu les mesures points de l'expérience c-à-d :
suivantes :
p(xi) = yi , pour i = 1, 2, … , n+1
ti 0 10 15 20 30 On parle du problème
vi 2.00 1.89 ? 1.72 1.44 d’interpolation polynômiale
▪ Comment estimer la valeur de la vitesse à ✓ Si x [x1 , xn+1] : Interpolation.
l’instant t = 15 s ? ✓ Si x [x1 , xn+1] : Extrapolation.
Hakim En-Nefkhaoui Méthodes Numériques 3 Hakim En-Nefkhaoui Méthodes Numériques 4
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, APPROCHE À ADOPTER INTERPOLATION POLYNOMIALE
Les quantités yi représentent : ℙn[x] : Espace vectoriel des polynômes de
– Les valeurs d’une fonction f connue degré ≤ n à coefficients réels.
analytiquement : yi = f(xi)
Interpoler des données (xi , yi), à l’aide d’un
✓ Remplacer f par un polynôme en vue d’un polynôme, consiste à chercher un polynôme
calcul numérique d’intégrale ou de dérivée. p ℙn[x] tel que :
– Les résultats d'une expérience. p(xi) = yi , pour i = 1, 2, … , n + 1
✓ Une représentation analytique de données ✓ Ces conditions sont appelées :
expérimentales (dont le nombre peut être
Conditions d’interpolation.
très élevé).
Hakim En-Nefkhaoui Méthodes Numériques 5 Hakim En-Nefkhaoui Méthodes Numériques 6
DÉFINITIONS
• Les points xi sont appelés nœuds (ou
abscisses) d’interpolation.
• L’ensemble {x1, x2, … , xn+1} est appelé le
POLYNÔME
support de l’interpolation. D’INTERPOLATION
Si yi = f(xi) (f est une fonction donnée). EXISTENCE ET UNICITÉ
➢ p est dit polynôme d’interpolation ou
interpolant de f aux nœuds {xi}.
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, EXISTENCE ET UNICITÉ EXISTENCE ET UNICITÉ
p(xi) = yi a0 + xia1 + x2ia2 + … + xnian = yi
p ℙn[x] p(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Pour i = 1, 2, … , n+1
Problème : a0, a1, … , an ?
a0 + x1a1 + x21a2 + … + xn1an = y1
Données : (x1 , y1) ; (x2 , y2) ; … ; (xn+1 , yn+1). a0 + x2a1 + x22a2 + … + xn2an = y2
Les xi sont distinctes deux à deux. ...........................................................................
Méthode : Créer (n+1) équations à l’aide a0 + xn+1a1 + x2n+1a2 + … + xnn+1an = yn+1
des conditions p(xi) = yi, qui peuvent
déterminer les (n+1) inconnues a0, a1, … , an : Problème d'interpolation est un problème
d’algèbre linéaire
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EXISTENCE ET UNICITÉ EXISTENCE ET UNICITÉ
La matrice du système notée V, est de type
Vandermonde. Théorème :
1 x1 x1n Étant donné n+1 points distincts deux
1 x2 x2n à deux; x1, x2, … , xn+1, et n+1 valeurs
V = correspondantes; y1, y2, … , yn+1.
Il existe un unique polynôme p ℙn[x],
1 xn +1 xnn +1
tel que :
Det ( V ) =
1 j i n +1
( x i − x j ) Det ( V ) 0 p(xi) = yi , pour i = 1, 2, … , n + 1.
( x i x j , pour i j)
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