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Un bon devoir niveau 3eme année
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LPA Mathématiques 3èmeMath14/02/2023 Devoir de contrôle 2 Durée 2heures
Exercice 1 (6pts)
Le plan est orienté dans le sens direct.
D
Dans la figure ci-contre :
* 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle isocèle en 𝐴 et
C
direct .
* 𝐷𝐶𝐵 un triangle équilatéral direct . O
(C ) désigne le cercle de centre 𝑂 et circonscrit
au triangle 𝐷𝐶𝐵.
1) a) Soit 𝐻 = 𝑆( vérifier que 𝐻 𝜖 (C ) A
) (𝑂)
B
b) Montrer que qu’il existe une unique rotation 𝑅 tel que 𝑅(𝐵) = 𝐶 et 𝑅(𝑂) = 𝐻
c) Préciser l’angle et le centre de 𝑅
d) Soit 𝑁 un point de [𝐵𝐷] \{𝐵, 𝐷} et 𝑁 = 𝑅(𝑁), montrer que 𝑁 𝜖 [𝑁𝐶]
puis déduire que 𝑁𝐷 + 𝑁𝐵 − 𝑁𝐶 = 0
2) Soit 𝐼 = 𝐵 ∗ 𝐶 et 𝐽 𝜖 [𝐵𝐶] tel que 𝐶𝐽 = 𝐶𝐴 et 𝑟 la rotation tel que 𝑟(𝐵) = 𝐶 et 𝑟(𝐴) = 𝐽
a) Déterminer l’angle de 𝑟 puis construire en le justifiant son centre Ω
b) Soit (C’ ) le cercle de centre Ω et passant par 𝐼, montrer que (𝐴𝐶) est tangente à (C’ ) en un point 𝐺
c) Déterminer 𝑟(𝐼) = 𝐺 et puis déduire 𝑟((𝐵𝐶))
d) Soit 𝐸 un point du plan tel que 𝐸 ≠ 𝐵 et 𝐸 = 𝑟(𝐸) et {𝐹} = (𝐵𝐸) ∩ (𝐶𝐸′)
Montrer que 𝐹 appartient à un cercle que l’on précisera
3) Soit 𝑀 un point du plan tel que 𝑟(𝑀) = 𝑀′ et 𝑅 (𝑀 ) = 𝑀′′
a) Montrer que la médiatrice de [ 𝑀𝑀′] passe par un point fixe que l’on précisera
b) Montrer que 𝑀′′ est l’image de 𝑀 par une rotation que l’on caractérisera.
Exercice 2 (6pts)
Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) =
On désigne par 𝐶 sa courbe représentative dans un repère orthonormé 𝑅 = (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗).
1) a. Déterminer les réels a , b et c tel que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
b. Montrer alors que la droite ∆ :𝑦 = 𝑥 est une asymptote oblique à 𝐶
c. Etudier la position relative de ∆ et 𝐶 .
d. Montrer que 𝐼(2 ,1 ) est un centre de symétrie de 𝐶
e. Dresser le tableau de variation de 𝑓
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