100% satisfaction guarantee Immediately available after payment Both online and in PDF No strings attached
logo-home
Previously searched by you
Previously searched by you
logo
11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée _1ère année universitaire _ Analyse 1_ CA$4.18   Add to cart
Quickly navigate to
Preview
  2.  
  3. Ecole Nationale Polytechnique
  4.  
  5. Analyse 1

Other

11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée _1ère année universitaire _ Analyse 1_
 3 views  0 purchase
  • Course
  • Analyse 1
  • Institution
  • Ecole Nationale Polytechnique

11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée _1ère année universitaire _ Analyse 1_ classe préparatoire de 1ère année universitaire Ecole Nationale Polytechnique

Preview 2 out of 8  pages

Document information

  • February 16, 2024
  • 8
  • 2018/2019
  • Other
  • Unknown

Subjects

  • calculs
  • exercices corrigées
  • divers
  • fonctions dérivables
  • théorème de rolle
  • analyse 1

Written for

  • Ecole Nationale Polytechnique
  • Analyse 1
All documents for this subject (8)

Seller

avatar-seller
aminall000

Content preview

Exo7

Fonctions dérivables



1 Calculs
Exercice 1
Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par :
√
f (x) = x si 0 6 x 6 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1

soit dérivable sur R∗+ .
Indication H Correction H Vidéo  [000699]


Exercice 2
1
Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note
x
encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f 0 n’est pas continue en 0.
Indication H Correction H Vidéo  [000700]


Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1
f1 (x) = x2 cos , si x 6= 0 ; f1 (0) = 0;
x

1
f2 (x) = sin x · sin , si x 6= 0 ; f2 (0) = 0;
x
√
|x| x2 − 2x + 1
f3 (x) = , si x 6= 1 ; f3 (1) = 1.
x−1

Indication H Correction H Vidéo  [000698]


Exercice 4
Soit n ≥ 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante :

1 + xn
f (x) = , x ≥ 0.
(1 + x)n

1. (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f 0 (x) pour x ≥ 0.
(b) En étudiant le signe de f 0 (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on détermi-
nera.
2. (a) En déduire l’inégalité suivante :

(1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .



1

, (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ).

Correction H Vidéo  [000739]




2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5
Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Indication H Correction H Vidéo  [000717]


Exercice 6
Montrer que le polynôme Pn défini par
h n i(n)
Pn (t) = 1 − t2
est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1].
Indication H Correction H Vidéo  [000715]


Exercice 7
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction
f (x) = αx2 + β x + γ
sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique.
Correction H Vidéo  [000721]


Exercice 8
Soient x et y réels avec 0 < x < y.
1. Montrer que
y−x
x< < y.
ln y − ln x
2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par
α 7→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y.
De l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[
α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y).
Interprétation géométrique ?
Indication H Correction H Vidéo  [000724]




3 Divers
Exercice 9
Déterminer les extremums de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R.
Correction H Vidéo  [000733]


Exercice 10
Soient f , g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et dérivables sur ]a, b[. On suppose que
g0 (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.

2

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.

Who am I buying these notes from?

Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller aminall000. Stuvia facilitates payment to the seller.

Will I be stuck with a subscription?

No, you only buy these notes for CA$4.18. You're not tied to anything after your purchase.

Can Stuvia be trusted?

4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)

73243 documents were sold in the last 30 days

Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now

Start selling
CA$4.18
  • (0)
  Add to cart