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46 exercices Corrigèes sur les Polynômes et fractions rationnelles _ contient ( factorisation - demonstration des racines ) 1er année universitaire _ Algebre1_ CA$5.73   Add to cart
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46 exercices Corrigèes sur les Polynômes et fractions rationnelles _ contient ( factorisation - demonstration des racines ) 1er année universitaire _ Algebre1_
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  • Course
  • Algebre 1
  • Institution
  • Ecole Nationale Polytechnique

46 exercices Corrigèes sur les Polynômes et fractions rationnelles _ contient ( factorisation - demonstration des racines ) 1er année universitaire _ Algebre1_ ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les domaines des sciences technologies et l'informatique ...

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Document information

  • March 1, 2024
  • 36
  • 2018/2019
  • Other
  • Unknown

Subjects

  • 1er année universitaire
  • demonstration des racines
  • factorisation
  • exercices corrigèes
  • polynômes et fractions rationnelles

Written for

  • Ecole Nationale Polytechnique
  • Algebre 1
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Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé

Polynômes et fractions rationnelles

Exercice 1.
Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynôme
Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.
Soit
Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ]
Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.
Soit ( ) . On note
1. Montrer que
2. Montrer que est une racine multiple de .
3. Trouver deux racines réelles évidentes de .
4. Factoriser en facteurs irréductibles dans [ ] et puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
( )
En déduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].
Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.
Soit
1. Factoriser dans [ ].
2. Factoriser dans [ ].
3. Factoriser dans [ ].
Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
( )
En déduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].
Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.
Soit [ ] défini par

1. Déterminer les racines de .
2. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 7




1

,Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé

Exercice 8.
1. Soit un polynôme.
Factoriser ce polynôme dans [ ] et dans [ ].
2. Soit

( ) ∑( )

Déterminer les racines réelles et complexes de .
Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.
Soit
On pose
1. Montrer que est une racine multiple de .
2. Factoriser dans [ ].
3. Factoriser dans [ ].
Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.
Soit [ ] défini par


1. Montrer que est une racine multiple de .
2. En remarquant que est un polynôme pair, donner toutes les racines de ainsi que leur multiplicité.
3. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.
Soit
1. Montrer que est une racine double de
2. Factoriser dans [ ]
Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.
1. Déterminer les racines réelles et complexes de ( )
2. Soit et soit [ ] défini par
( )
Déterminer pour que admette une racine réelle multiple.
Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.
1. Le polynôme , est-il irréductible dans [ ] ?
2. Le polynôme , est-il irréductible dans [ ] ?
Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.
Déterminer les réels , et tels que soit factorisable par
( )( )
Allez à : Correction exercice 14

2

,Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé

Exercice 15.
Pour , montrer que le polynôme ( ) est divisible par
Allez à : Correction exercice 15

Exercice 16.
Soit
( )
On pose [ ] avec
Pour quelles valeurs de , est-il racine de ?
On pourra discuter selon les valeurs de .
Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ( ) par .
Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.
Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) ?
Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.
Soit [ ] le reste de la division euclidienne de ( ) par ( ) .
Déterminer .

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.
Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) , pour , .
Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.
Déterminer le reste dans la division euclidienne de par
Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.
1. Montrer que pour tout , est divisible par .
2. En déduire que le polynôme avec , , et entiers naturels est
divisible par .
Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.
Soit un polynôme de [ ], on note , et ses racines.
1. Calculer .
2. Calculer .
3. Calculer .
4. On pose
Calculer en fonction de .
Allez à : Correction exercice 23

3

, Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé

Exercice 24.
Soit [ ] un polynôme tel que ( ) ( ) ( )
1. Montrer que et sont racines de .
2. Soit une racine de . Si , montrer que est racine. Si , montrer que est racine.
3. On suppose que n’est pas le polynôme nul. Montrer que et sont les seules racines de .
Indication :
S’il existe une racine telle que ( ) différente de 0 ( ), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
S’il existe une racine telle que ( ) différente de 1 ( ), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
4. En déduire que est de la forme ( ) avec [ ], et .
5. Quel est l’ensemble des polynômes de [ ] tels que ( ) ( ) ( ).
Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.
Effectuer la division suivante les puissances croissantes de par à l’ordre .
Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.
On considère le couple de polynôme à coefficients réels

1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le ( ).
2. Décomposer et en facteurs irréductibles dans [ ].
3. Retrouvez le résultat de la question 1.
4. Décomposer en facteur irréductible dans [ ].
Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.
Soient et
Déterminer le de et et en déduire les racines communes de et .
Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.
Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes ( ) et .
Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.
1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes

2. En déduire les racines communes de et .
Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.
Soit
1. Calculer le PGCD de et .
2. Quelles sont les racines communes à et ?
Quelles sont les racines multiples de dans ?
3. Montrer que ( ) divise .
4. Factoriser dans [ ].
4

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