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5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ CA$4.29   Add to cart
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5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ
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  • Course
  • Analyse 2
  • Institution
  • Ecole Nationale Polytechnique

5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ

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Document information

  • March 22, 2024
  • 20
  • 2021/2022
  • Other
  • Unknown

Subjects

  • developpements limités
  • analyse
  • formule de taylor avec reste intégrale
  • formule de taylor avec reste intégrale

Written for

  • Ecole Nationale Polytechnique
  • Analyse 2
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École nationale polytechniques Année : 2021/ 2022
1ère Année classe préparatoire Module : Analyse 2
Groupe 2, 5 et 8 17 février 2022


Série d’exercices 4
F`o˘r‹m˚u˜l´e˙s `d`e T`a‹y¨l´o˘rffl `eˇt D`é›vfle¨l´o¸p¯p`e›m`e›n˚t˙s L˚i‹m˚i˚t´é˙s




1 Développements limités :
Exercice 1
A l’aide de la formule de Taylor et le reste de Lagrange, montrer que :
x 2 x3
1. ∀x > 0, ln(1 + x) < x − + .
2 3
i πh x3
2. ∀x ∈ 0, : tan x > x + .
2 3

Solution


Rappel
1. Formules de Taylor :
1.1 Formule de Taylor-Lagrange :

La formule de Taylor avec reste de Lagrange est donnée par le théorème suivant :

Théorème 1
Soit f : [a, b] −→ R une fonction telle que :
☞ f ∈ C n ([a, b]).
☞ f (n) est dérivable dans ]a, b[.
Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que

f ′ (a) f ′′ (a) f (n) (a) f (n+1) (c)
f (b) = f (a) + (b − a) + (b − a)2 + · · · + (b − a)n + (b − a)n+1 . (1)
1! 2! n! (n + 1)!

Dans la pratique, on utilise souvent le corollaire suivant :




1

, Corollaire 1
Soient x, x0 ∈]a, b[ et supposons que x0 < x. Les conditions du théorème (1) sont vérifiées sur
]x0 , x[, alors il existe c ∈]x0 , x[ tel que

f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) f (n+1) (c)
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1
1! 2! n! (n + 1)!
(2)

Cette formule s’appelle formule de Taylor-Lagrange d’ordre n de la fonction f au point x0 .

Remarque
① Si n = 0 dans la formule (2) on retrouve le théorème des accroissements finis.
② On peut écrire la formule (2) sous la forme

f (x) = Pn (x) + Rn (x)

avec n
X f (k) (x0 )
✗ Pn (x) = (x − x0 )k qui s’appelle la partie polynômiale.
k=0
k!
(n+1)
f (c)
✗ Rn (x) = (x − x0 )n+1 qui s’appelle reste de Lagrange d’ordre n.
(n + 1)!
③ Si x0 = 0 dans la formule de Taylor (2) on obtient

f ′ (0) f ′′ (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1
f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + x (3)
1! 2! n! (n + 1)!

Cette formule s’appelle formule de Maclauren avec reste de Lagrange.
④ En posant h = x − x0 alors c = x0 + θh, avec 0 < θ < 1, et on obtient une autre formulation de
(2)

f ′ (0) f ′′ (x0 ) 2 f (n) (x0 ) n f (n+1) (x0 + θh) n+1
f (x + h) = f (x0 ) + h+ h + ··· + h + h (4)
1! 2! n! (n + 1)!


1.2 Formule de Taylor-Young :

Nous allons maintenant restreindre les hypothèses en supposant simplement que f (n) (x0 ) existe.

Théorème 2
Soit f : I 7−→ R et x0 ∈ I.
Supposons que f (n) (x0 ) existe. Alors, on a pour tout x ∈ I

f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 )
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x) (5)
1! 2! n!
où ε : I −→ R vérifie lim ε(x) = 0.
x−→x0
Cette formule s’appelle formule de Taylor à l’ordre n avec reste de Young.



2 I. KETTAF

, ☞ Notation de Landau :
Définition 1
Soient f et d deux fonctions et a ∈ R.
On dit que f est négligeable devant g au voisinage du point a si et seulement s’il existe un intervalle
ouvert I contenant a et une fonction ε : I −→ R tels que

lim ε(x) = 0 et ∀x ∈ I : f (x) = g(x)ε(x).
x−→a




Exemples :
π
① Au voisinage de , le cosinus est négligeable devant le sinus.
2
On pose
1
ε(x) = .
tan(x)
On a
1
limπ ε(x) = limπ =0
x−→ 2 x−→ 2 tan(x)
et nπ o 1
∀x ∈]0, π[\ : cos(x) = sin(x) × = sin(x)ε(x).
2 tan(x)
② Soit (n, m) ∈ N tel que n < m. Au voisinage de 0, xm est négligeable devant xn .
2

En effet, pour I =] − 1, 1[ et en posant ε(x) = xm−n on a

xm = xm−n+n = xm−n × xn = xn ε(x)

avec
lim ε(x) = lim xm−n = 0 car m − n > 0.
x−→0 x−→0



Notation :
Si f est négligeable devant g au voisinage de a alors on écrit

f = o(g).

Propriétés :
① Soient f, g et h trois fonctions telles que

f = o(g) et g = o(h)

au voisinage de a. Alors f = o(h).
② o(f ) + o(f ) = o(f ) et o(g) − o(g) = o(g).
③ Si f1 = o(g1 ) et f2 = o(g2 ) alors
f1 × f2 = o(g1 × g2 ).
④ On a pour tout λ ∈ R
λ × o(f ) = o(f ).


3 I. KETTAF

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