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devoir mathématique terminale
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contient des exercices de compréhension des cours de terminale filières scientifique
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Terminale S3DS de Mathématiques
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, Exercice 1 (7 points)
6𝑥+4
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ/{−2} par 𝑓(𝑥) = .
𝑥+2
Partie A : Étude de la fonction 𝑓.
1) a) Calculer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓 et étudier son signe.
b) En déduire les variations de 𝑓 sur son domaine de définition.
𝑏
2) a) Montrer que 𝑓 peut s’écrire sous la forme (𝑥) = 𝑎 +
𝑥+2 où 𝑎 et 𝑏 sont deux réels à déterminer.
b) En déduire que pour tout réel 𝑥 positif, (𝑥) ≤ 6.
3) Résoudre l’équation (𝑥) = 𝑥.
Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?
Partie B : Étude de la suite 𝑢 définie sur ℕ par 𝑢𝑛
6𝑛+4
= 𝑛+2
1) Déterminer les variations de la suite 𝑢.
2) Montrer que la suite 𝑢 est bornée.
3) Montrer que la suite 𝑢 converge puis déterminer sa limite.
Partie C : Étude de la suite 𝑣 définie sur ℕ par 𝑣 6𝑣𝑛+4 1
𝑛+1 = et 𝑣 0 =
𝑣𝑛+2 2
On admet que, pour tout entier naturel 𝑛, la suite 𝑣 est positive.
On donne en annexe une partie de la courbe représentative (C) de la fonction f ainsi que la droite (d)
d’équation y = x.
1. a) Sur l’axe des abscisses, placer 𝑣0 puis construire 𝑣1, 𝑣2 et 𝑣3 en laissant apparents les traits de
construction.
b) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (𝑣𝑛) ?
2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a 𝑣𝑛 − 5 < 0.
b) Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1) b).
3. On suppose dans cette question que 𝑣0 ≥ 5. Quelles en sont les conséquences ?
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