Afgeleiden: Vraagstukken
● De som van 2 positieve getallen is 151. Bepaal die getallen zodat de som van hun
kwadraten minimaal is.
• Gegeven: getal 1 + getal 2 = 151
• Gevraagd: getal 1 en 2 zodat de som van de kwadraten minimaal is.
• Oplossing
⇒ • Getal 1 = x • Getal 2 = 151 - x
⇒ → f(x)= getal 1² + getal 2²
⇒ → f(x)= x² + (151 - x)²
⇒ → f(x)= x² + 151² - 302x + x²
⇒ → f(x)= 2x² - 302x + 22 801
⇒ We zoeken een m voor f
⇒ → f ‘(x)= 4x - 302
⇒ Nulwaarden f ‘(x) bepalen
⇒ ⇔ 4x - 302
⇒ ⇔ x= 75,5
⇒ Tekentabel
x -∞ 75,5 +∞
f(x) - 0 +
↘ m ↗
• Getal 1= x = 75,5
• Getal 2= 151 - x= 151 - 75,5= 75,5
• f(75,5)= 11400,5
⇒ Antwoord: De som van de kwadraten van beide getallen is minimaal als beide
⇒ Antwoord: getallen gelijk zijn, namelijk 75,5 namelijk de som van de kwadraten
⇒ Antwoord: bereikt een minimum.
○ Stappenplan
⇒ Functievoorschrift bepalen
→ Indien mogelijk uitrekenen
⇒ Bereken f ‘(x)
⇒ Bereken de NW van f ‘(x)
⇒ Stel een tekentabel van f ‘(x) op
⇒ Bereken getal 1 (Zie Getal 1 = overschrijven)
⇒ Bereken getal 2
→ Vul x (zie NW f ‘(x)) in in Getal 2
⇒ Vul getal 2 in in f(x) en reken uit
, ● Peter moet een weiland verdelen in 4 gelijke vakken. Hij beschikt over een lint van
600 m. Hoe moet gij dit uitvoeren zodat de vakken een maximale oppervlakte hebben?
⇔ 8b + 5h= 600
⇔ 5h= 600 - 8b
8
⇔ h= 120 - 5
b
⇒ Oppervlakte berekenen
⇒ f(x)= b . h
8
⇒ f(x)= b . (120 - 5 b)
−8
⇒ f(x)= 5
b² + 120b
⇒ Afgeleide berekenen
−16
⇒ f ’(x)= 5
b + 120
⇒ Nulwaarden f ‘(x) bepalen
−16
⇒⇔ 5
b + 120= 0
−16
⇒⇔ 5
b= - 120
−120 . 5
⇒ ⇔ b= −16
600
⇒ ⇔ b= 16
⇒ ⇔ b= 37,5
⇒ Tekentabel
x -∞ 37,5 +∞
f ‘(x) + 0 -
f(x) ↗ M ↘
8 8
→ h= 120 - 5
b= 120 - 5
. 37,5= 60
• Antwoord: Het zijn 4 rechthoeken van 37,5 m op 60 m de maximale oppervlakte van
• Antwoord: elke rechthoek is 37,5 . 60= 2250
○ Stappenplan
⇒ Er zijn 8 b’s en 5 h’s (zie tekening) → opstellen functievoorschrift
⇒ h berekenen, b als onbekende laten → voorschrift omvormen
⇒ A= b . h → oppervlakte berekenen
⇒ Afgeleide berekenen
⇒ Nulwaarden van afgeleide berekenen → b berekenen
⇒ Tekentabel opstellen
⇒ b invullen in omgevormd voorschrift en uitrekenen
● De som van 2 positieve getallen is 2004. Bepaal die getallen zodat hun product
maximaal is.
• Gegeven: getal 1 + getal 2= 2004
• Gevraagd: bepaal getal 1 en 2 zodat hun product
• Gevraagd: maximaal is.
● De som van 2 positieve getallen is 151. Bepaal die getallen zodat de som van hun
kwadraten minimaal is.
• Gegeven: getal 1 + getal 2 = 151
• Gevraagd: getal 1 en 2 zodat de som van de kwadraten minimaal is.
• Oplossing
⇒ • Getal 1 = x • Getal 2 = 151 - x
⇒ → f(x)= getal 1² + getal 2²
⇒ → f(x)= x² + (151 - x)²
⇒ → f(x)= x² + 151² - 302x + x²
⇒ → f(x)= 2x² - 302x + 22 801
⇒ We zoeken een m voor f
⇒ → f ‘(x)= 4x - 302
⇒ Nulwaarden f ‘(x) bepalen
⇒ ⇔ 4x - 302
⇒ ⇔ x= 75,5
⇒ Tekentabel
x -∞ 75,5 +∞
f(x) - 0 +
↘ m ↗
• Getal 1= x = 75,5
• Getal 2= 151 - x= 151 - 75,5= 75,5
• f(75,5)= 11400,5
⇒ Antwoord: De som van de kwadraten van beide getallen is minimaal als beide
⇒ Antwoord: getallen gelijk zijn, namelijk 75,5 namelijk de som van de kwadraten
⇒ Antwoord: bereikt een minimum.
○ Stappenplan
⇒ Functievoorschrift bepalen
→ Indien mogelijk uitrekenen
⇒ Bereken f ‘(x)
⇒ Bereken de NW van f ‘(x)
⇒ Stel een tekentabel van f ‘(x) op
⇒ Bereken getal 1 (Zie Getal 1 = overschrijven)
⇒ Bereken getal 2
→ Vul x (zie NW f ‘(x)) in in Getal 2
⇒ Vul getal 2 in in f(x) en reken uit
, ● Peter moet een weiland verdelen in 4 gelijke vakken. Hij beschikt over een lint van
600 m. Hoe moet gij dit uitvoeren zodat de vakken een maximale oppervlakte hebben?
⇔ 8b + 5h= 600
⇔ 5h= 600 - 8b
8
⇔ h= 120 - 5
b
⇒ Oppervlakte berekenen
⇒ f(x)= b . h
8
⇒ f(x)= b . (120 - 5 b)
−8
⇒ f(x)= 5
b² + 120b
⇒ Afgeleide berekenen
−16
⇒ f ’(x)= 5
b + 120
⇒ Nulwaarden f ‘(x) bepalen
−16
⇒⇔ 5
b + 120= 0
−16
⇒⇔ 5
b= - 120
−120 . 5
⇒ ⇔ b= −16
600
⇒ ⇔ b= 16
⇒ ⇔ b= 37,5
⇒ Tekentabel
x -∞ 37,5 +∞
f ‘(x) + 0 -
f(x) ↗ M ↘
8 8
→ h= 120 - 5
b= 120 - 5
. 37,5= 60
• Antwoord: Het zijn 4 rechthoeken van 37,5 m op 60 m de maximale oppervlakte van
• Antwoord: elke rechthoek is 37,5 . 60= 2250
○ Stappenplan
⇒ Er zijn 8 b’s en 5 h’s (zie tekening) → opstellen functievoorschrift
⇒ h berekenen, b als onbekende laten → voorschrift omvormen
⇒ A= b . h → oppervlakte berekenen
⇒ Afgeleide berekenen
⇒ Nulwaarden van afgeleide berekenen → b berekenen
⇒ Tekentabel opstellen
⇒ b invullen in omgevormd voorschrift en uitrekenen
● De som van 2 positieve getallen is 2004. Bepaal die getallen zodat hun product
maximaal is.
• Gegeven: getal 1 + getal 2= 2004
• Gevraagd: bepaal getal 1 en 2 zodat hun product
• Gevraagd: maximaal is.
