Overview of different lectures. Gives insights in different problems and its heuristics. Also proof of optimality and comparison between different modeling structures.
Applications of Operations Research
Lecture 1
NP-hard
= nobody could come up with an efficient algorithm to solve this problem
0/1 Knapsack Problem
- NP-hard
- Solve by using branch-and-bound or by dynamic programming (both not efficient in worst
case)
- Rounding heuristic (solve LP relaxation and round)
- Greedy algorithm (don’t look ahead, but just look at the immediate benefit of your action)
- Greedy 2.0 = max{rounding, greedy} – performance guarantee of 2
Assignment Problem
- Polynomial
- Algorithm: can be solved as a LP (gives integer optimal solution – matrix is unimodular)
Shortest Path Problem
- NP-hard (IF there are negative length directed cycles ELSE polynomial)
- If no lengths < 0: Dijkstra (polynomial)
- If some lengths <0, but no negative cycles: Bellman-Ford (polynomial)
- Solving LP always yields optimal integer solution (matrix is unimodular)
Minimum Spanning Tree (MST) problem
- Polynomial
- Tree = connected subgraph that does not contain cycles, it is spanning if it contains all the
vertices of the graph
- Two models:
o With connectivity constraints (sum of weights of edges larger than 1)
o With subtour elimination constraints (sum of weights of edges smaller than S-1)
o Feasible set of LP relaxation of model 2 is the subset of the feasible set of LP
relaxation of model 1. Hence, model 2 is a stronger model than model 1.
- Kruskal’s algorithm (exact algorithm = computes optimal solution) – it’s a greedy algorithm
, Lecture 2
Vertex Cover Problem
- NP-hard
- Rounding heuristic (easy for this problem) – always a feasible solution
- Correctness (proof by contradiction – slide 7)
- Performance guarantee of 2 (slide 8)
- Greedy heuristic (minimize ratio of weight/degree)
(Data) Clustering Problem
- NP-hard
- K-means algorithm (heuristic algorithm)
o Choose K random cluster centers (initialization)
o Assign observations to closest center
o Calculate new center if assignments did change (else stop)
Uncapacitated Facility Location (UFL) Problem
- NP-hard
- Greedy heuristic (look at net savings)
- Construction heuristic = builds a feasible solution from scratch
- Improvement heuristic = takes a feasible solution as input and tries to find a better one
- Local search (= improvement heuristic)
o Tricky to define neighborhood (=key step)
o Trade off = time spent vs. quality of the solution
Parallel Machine Scheduling Problem
- NP-hard
- Local search (define neighborhood!)
o Performance guarantee of 2 (slide 53)
- Greedy algorithm = list scheduling algorithm
o Performance guarantee of 2 (slide 54) – because local search does not improve the
greedy algorithm anymore
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper sepm13. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
