This is a summary of the concept of Limits and Continuity. This concept is crucial for learning advanced calculus, which includes topics such as differentiation and integration.
Limits and Continuity
Vague Definition of Limits
Let 𝑎 𝜖 ℝ and f be a function defined on an open interval containing 𝑎 (except possibly at 𝑎). Suppose L is a real number such that f(x) is as
close to L as we please whenever x is sufficiently close (but not equal to 𝑎). The number L is the limit of f(x) as x approaches 𝑎 and can be
written as lim 𝑓(𝑥) = 𝐿.
𝑥→𝑎
Limit Laws
Let a, c, L and M be real numbers and suppose that lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 and lim 𝑔(𝑥) = 𝑀. Then
𝑥→𝑎 𝑥→𝑐
lim 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim 𝑓(𝑥) lim [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
(Scalar Multiplicity) (Linearity)
lim [ 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) × lim 𝑔(𝑥) lim 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
lim = provided that 𝑀 ≠ 0
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
One-sided Limits
If f(x) approaches L1 as x approaches a from the Left, we write: 𝑙𝑖𝑚−𝑓(𝑥) = 𝐿1
𝑥→𝑎
If f(x) approaches L1 as x approaches a from the Left, we write: 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) = 𝐿2
𝑥→𝑎
Relationship between one-sided and two-sided limits
If both 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) and 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) exist and 𝑙𝑖𝑚−𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥), then 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) exists and 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥).
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
The converse holds true as well.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper chuanhualiu. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,85. Je zit daarna nergens aan vast.
