Dynamische
systemen
Fysiologische processen
Dynamische en fysische systemen
Overdrachtsfuncties en responsies
Toestandsvariabelen en simulatie
Teruggekoppelde regelsystemen
Bodediagram & Nyquistdiagram
Dynamica en stabiliteit
,Terugkoppeling van fysiologische processen
In het lichaam zijn veel processen die stabiel zijn dankzij
terugkoppeling. Let goed op wat het doel en daarmee de
uitgang van het systeem moet zijn. Voorbeeld: Het lichaam heeft
niet als doel en uitgang het op peil houden van de
hartfrequentie, maar het behouden van de juiste bloeddruk. De
bloeddruk wordt gemeten met baroreceptoren.
Het endocriene regelsysteem wordt aangestuurd door hormonen. Het neurale systeem wordt
aangestuurd door impulsen via de neuronen.
In onderstaande tabel zijn een aantal fysiologische processen met uitgang- en ingangssignaal
weergeven.
Fysiologisch proces Uitgangssignaal y(t) Storing Ingangssignaal u(t)
Circulatie Arteriële bloeddruk Metabool gebruik O2 Contractiliteit
Oriëntatie lichaam Hartfrequentie
Ademhaling [CO2] en [O2] Gebruik van O2 Ademhalingsfrequentie
Productie van CO2 Ademhalingsvolume
Temperatuur Kerntemperatuur Omgevingstemperatuur Vasodilatatie
Warmteproductie Spiercontracties
Isolatie Zweten
Voorbeelden van terugkoppelsystemen zijn: regeling groei
(GH), regeling schildklier (TRH, TSH, T3, T4) en regeling van
de zoutbalans (ACTH, adostero).
Een teruggekoppeld systeem vergelijkt het uitgangssignaal
(Y) met een referentiesignaal (Yref). Het ingangssignaal
wordt zo aangepast dat eventuele storingen geen invloed
hebben op het uitgangssignaal.
Een terugkoppeling aangegeven met een “+” geeft aan dat ingang en uitgang evenredig met elkaar
zijn.
Een terugkoppeling aangegeven met een “-” geeft aan dat ingang en uitgang omgekeerd evenredig
met elkaar zijn.
Het verschil tussen de uitgang en de referentiewaarde van de uitgang, aangegeven met de “-” is
positief, negatief of gelijk.
Regelaar: Gedeelte van een systeem, die de ingang op een bepaalde manier vertaald. Bijvoorbeeld
regelen van glucagon en insuline in bloed.
Proces: Gedeelte van een systeem waar het proces zich afspeelt. Bijvoorbeeld het
glucosemetabolisme.
Een teruggekoppeld systeem is stabiel als het aantal inversies in één lus oneven is. Voorbeeld van een
stabiele lus in het glucosemetabolisme is: Cg (inversie) → Cgε (inversie) → β-cel → insuline (inversie) →
spieren → bloed → Cg.
,Dynamisch systeem: Systeem dat niet afhankelijk is van 1 ingangssignaal, maar ook van
toestandsvariabelen op t=0. De orde van het systeem wordt gegeven door het aantal
toestandsvariabelen.
Het gedrag van een systeem wordt beschreven door de relatie tussen de ingang- en uitgangssignalen.
Toestandsvariabelen: Waarden die op t=0 naast de ingang invloed hebben op de uitgang van het
systeem.
Een stroombron met een weerstand is een 0e orde systeem, omdat het
ingangssignaal (spanning) op elk moment de stroomsterkte beïnvloed.
1
𝐼(𝑡) = 𝑈(𝑡)
𝑅
Een slinger systeem met als ingang kracht en als uitgang de hoek is van de 2e orde, omdat daarnaast
de toestandsvariabelen beginhoek en snelheid van belang zijn.
Een 1-compartiment farmacokinetiekmodel met als ingang de inkomende stroom en als uitgang de
concentratie is van de 1e orde, omdat de outflow gezien kan worden als een parameter en dat de
concentratie naast de inkomende stroom afhankelijk is van de beginconcentratie.
De meeste ingangssignalen kunnen het uitgangssignaal alleen verlagen óf verhogen. In dat geval is er
een antagonist om het uitgangssignaal te kunnen verlagen en te verhogen.
, Dynamische en fysische systemen
Vectoren en matrices (uitleg)
Een vector is een meerdimensionale grootheid met een kolom of een rij. Matrices bestaan uit een
aantal coëfficiënten / factoren waarmee de grootheden worden vermenigvuldigd.
𝑥 (𝑡)
Vector: ( 1 )
𝑥2 (𝑡)
𝑎11 𝑎12
Matrix: (𝑎 𝑎22 )
21
Vermenigvuldiging van een vector en een matrix werkt als volgt:
𝑦 (𝑡) 𝑎11 𝑎12 𝑥1 (𝑡) 𝑏1
( 1 ) = (𝑎 𝑎22 ) (𝑥2 (𝑡)) + (𝑏2 ) (𝑢1 (𝑡))
𝑦2 (𝑡) 21
𝑦1 (𝑡) = 𝑎11 ∗ 𝑥1 (𝑡) + 𝑎12 ∗ 𝑥2 (𝑡) + 𝑏1 ∗ 𝑢1 (𝑡)
𝑦2 (𝑡) = 𝑎21 ∗ 𝑥1 (𝑡) + 𝑎22 ∗ 𝑥2 (𝑡) + 𝑏2 ∗ 𝑢1 (𝑡)
Samengevat: Het uitlezen gebeurt per rij, waarbij de eerste coëfficiënt wordt vermenigvuldigd met
de bovenste grootheid uit de vector. Het tweede coëfficiënt wordt vermenigvuldigd met de tweede
grootheid van boven gezien uit de vector etc. etc. De losse vermenigvuldigingen worden opgeteld.
Effort- en flowvariabelen
𝑃 =𝑒∗𝑓 Vermogen = effort * flow
Met de effort-flow formule is het mogelijk om te schakelen tussen 2 fysische domeinen. De effort
variabele is de kracht die zorgt dat een flow optreedt. De flow variabele is een stroom die ten
gevolge van de effort optreedt.
Voorbeelden van domeinen met effort en flow variabelen zijn:
Fysische domein Effort Flow
Elektrisch Potentiaal (U in Volt) Stroom (I in Ampère)
Mechanisch (lineair) Kracht (F in Newton) Snelheid (V in m/s)
Mechanisch (rotatie) Moment (M in Nm) Hoeksnelheid (ϴ in rad/s)
Mechanisch Druk (P in N/m2) Flow (∅ in m3/s)
(pneumatisch/hydraulisch)
systemen
Fysiologische processen
Dynamische en fysische systemen
Overdrachtsfuncties en responsies
Toestandsvariabelen en simulatie
Teruggekoppelde regelsystemen
Bodediagram & Nyquistdiagram
Dynamica en stabiliteit
,Terugkoppeling van fysiologische processen
In het lichaam zijn veel processen die stabiel zijn dankzij
terugkoppeling. Let goed op wat het doel en daarmee de
uitgang van het systeem moet zijn. Voorbeeld: Het lichaam heeft
niet als doel en uitgang het op peil houden van de
hartfrequentie, maar het behouden van de juiste bloeddruk. De
bloeddruk wordt gemeten met baroreceptoren.
Het endocriene regelsysteem wordt aangestuurd door hormonen. Het neurale systeem wordt
aangestuurd door impulsen via de neuronen.
In onderstaande tabel zijn een aantal fysiologische processen met uitgang- en ingangssignaal
weergeven.
Fysiologisch proces Uitgangssignaal y(t) Storing Ingangssignaal u(t)
Circulatie Arteriële bloeddruk Metabool gebruik O2 Contractiliteit
Oriëntatie lichaam Hartfrequentie
Ademhaling [CO2] en [O2] Gebruik van O2 Ademhalingsfrequentie
Productie van CO2 Ademhalingsvolume
Temperatuur Kerntemperatuur Omgevingstemperatuur Vasodilatatie
Warmteproductie Spiercontracties
Isolatie Zweten
Voorbeelden van terugkoppelsystemen zijn: regeling groei
(GH), regeling schildklier (TRH, TSH, T3, T4) en regeling van
de zoutbalans (ACTH, adostero).
Een teruggekoppeld systeem vergelijkt het uitgangssignaal
(Y) met een referentiesignaal (Yref). Het ingangssignaal
wordt zo aangepast dat eventuele storingen geen invloed
hebben op het uitgangssignaal.
Een terugkoppeling aangegeven met een “+” geeft aan dat ingang en uitgang evenredig met elkaar
zijn.
Een terugkoppeling aangegeven met een “-” geeft aan dat ingang en uitgang omgekeerd evenredig
met elkaar zijn.
Het verschil tussen de uitgang en de referentiewaarde van de uitgang, aangegeven met de “-” is
positief, negatief of gelijk.
Regelaar: Gedeelte van een systeem, die de ingang op een bepaalde manier vertaald. Bijvoorbeeld
regelen van glucagon en insuline in bloed.
Proces: Gedeelte van een systeem waar het proces zich afspeelt. Bijvoorbeeld het
glucosemetabolisme.
Een teruggekoppeld systeem is stabiel als het aantal inversies in één lus oneven is. Voorbeeld van een
stabiele lus in het glucosemetabolisme is: Cg (inversie) → Cgε (inversie) → β-cel → insuline (inversie) →
spieren → bloed → Cg.
,Dynamisch systeem: Systeem dat niet afhankelijk is van 1 ingangssignaal, maar ook van
toestandsvariabelen op t=0. De orde van het systeem wordt gegeven door het aantal
toestandsvariabelen.
Het gedrag van een systeem wordt beschreven door de relatie tussen de ingang- en uitgangssignalen.
Toestandsvariabelen: Waarden die op t=0 naast de ingang invloed hebben op de uitgang van het
systeem.
Een stroombron met een weerstand is een 0e orde systeem, omdat het
ingangssignaal (spanning) op elk moment de stroomsterkte beïnvloed.
1
𝐼(𝑡) = 𝑈(𝑡)
𝑅
Een slinger systeem met als ingang kracht en als uitgang de hoek is van de 2e orde, omdat daarnaast
de toestandsvariabelen beginhoek en snelheid van belang zijn.
Een 1-compartiment farmacokinetiekmodel met als ingang de inkomende stroom en als uitgang de
concentratie is van de 1e orde, omdat de outflow gezien kan worden als een parameter en dat de
concentratie naast de inkomende stroom afhankelijk is van de beginconcentratie.
De meeste ingangssignalen kunnen het uitgangssignaal alleen verlagen óf verhogen. In dat geval is er
een antagonist om het uitgangssignaal te kunnen verlagen en te verhogen.
, Dynamische en fysische systemen
Vectoren en matrices (uitleg)
Een vector is een meerdimensionale grootheid met een kolom of een rij. Matrices bestaan uit een
aantal coëfficiënten / factoren waarmee de grootheden worden vermenigvuldigd.
𝑥 (𝑡)
Vector: ( 1 )
𝑥2 (𝑡)
𝑎11 𝑎12
Matrix: (𝑎 𝑎22 )
21
Vermenigvuldiging van een vector en een matrix werkt als volgt:
𝑦 (𝑡) 𝑎11 𝑎12 𝑥1 (𝑡) 𝑏1
( 1 ) = (𝑎 𝑎22 ) (𝑥2 (𝑡)) + (𝑏2 ) (𝑢1 (𝑡))
𝑦2 (𝑡) 21
𝑦1 (𝑡) = 𝑎11 ∗ 𝑥1 (𝑡) + 𝑎12 ∗ 𝑥2 (𝑡) + 𝑏1 ∗ 𝑢1 (𝑡)
𝑦2 (𝑡) = 𝑎21 ∗ 𝑥1 (𝑡) + 𝑎22 ∗ 𝑥2 (𝑡) + 𝑏2 ∗ 𝑢1 (𝑡)
Samengevat: Het uitlezen gebeurt per rij, waarbij de eerste coëfficiënt wordt vermenigvuldigd met
de bovenste grootheid uit de vector. Het tweede coëfficiënt wordt vermenigvuldigd met de tweede
grootheid van boven gezien uit de vector etc. etc. De losse vermenigvuldigingen worden opgeteld.
Effort- en flowvariabelen
𝑃 =𝑒∗𝑓 Vermogen = effort * flow
Met de effort-flow formule is het mogelijk om te schakelen tussen 2 fysische domeinen. De effort
variabele is de kracht die zorgt dat een flow optreedt. De flow variabele is een stroom die ten
gevolge van de effort optreedt.
Voorbeelden van domeinen met effort en flow variabelen zijn:
Fysische domein Effort Flow
Elektrisch Potentiaal (U in Volt) Stroom (I in Ampère)
Mechanisch (lineair) Kracht (F in Newton) Snelheid (V in m/s)
Mechanisch (rotatie) Moment (M in Nm) Hoeksnelheid (ϴ in rad/s)
Mechanisch Druk (P in N/m2) Flow (∅ in m3/s)
(pneumatisch/hydraulisch)
