College aantekeningen
College aantekeningen Representation and Interaction (SOW-BKI329)
Notes and summary of Part 1 of the course Representation and Interaction (SOW-BKI329) - 2021
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 46 pagina's
Voorbeeld 4 van de 46 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Representation and InteractionChantal Drijvers
March 2021
Logic and Resolution
Logic concepts
• M |=ϕ
– M satisfies ϕ
– If a formula ϕ is true under a given interpretation M
• A formula is satisfiable if there is some interpretation under which it is
true
• A formula is unsatisfiable (inconsistent) if there is no interpretation under
which it is true
• |=ϕ
– Formula is valid (tautology)
– If a formula is true in every interpretation
– for all M: M |=ϕ
• Γ |=ϕ
– Formula ϕ is entailed (logical consequence) by a conjunction of for-
mulas (theory) Γ, if for all M: M |=Γ then M |=ϕ
• w |=ϕ
– w is a model of ϕ
1
,Deduction Concepts
• Deductive system S: set of axioms and rules of inference for deriving the-
orems
• A formula ϕ can be deduced by a set of formulae Γ if ϕ can be proven
using a deduction system S, written as Γ ` sϕ
• A deductive system S is sound if
Γ ` sϕ ⇒ Γ |= ϕ
• A deductive system S is complete if
Γ |= ϕ ⇒ Γ ` sϕ
• A deductive system S is refutation-complete if
Γ |= ⇒ Γ ` s
2
,Resolution
• Clausal form
L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Ln
– Li : literal (atom or negation of atom)
– if n = 0, then it is (empty clause)
• Complementary literals: L an L’, such that L ≡ ¬ L’
• Resolution (rule) R
C ∨ L, C 0 ∨ ¬L
D
– C, C’: clause
– D: (binary) resolvent equal to C ∨ C’
• V = {P ∨ Q ∨ ¬R, U ∨ ¬Q}, then
P ∨ Q ∨ ¬R, U ∨ ¬Q
P ∨ U ∨ ¬R
So V `R P ∨ U ∨ ¬R by applying the resolution rule R once
¬P ∨Q,¬Q ¬P ,P
• Give V = {¬P ∨ Q, ¬Q, P }, then ¬P and so V `R
• V `R
– V is inconsistent
– The derivation is called a refutation
– R is sound
• V 0R
– V is consistent
– R is refutation-complete
• Horn clause: clause with maximally one positive literal ¬A1 ∨· · ·∨¬Am ∨
B, also denoted by B ← A1 , . . . , Am
3
, First-order Logic
Syntax
• Constants: a, b, ...
• Variables: x, y, z, ...
• Functions: maps (sets of) objects to other objects, e.g., father, plus, ...
• Predicates: a function that returns either true of false: Brother-of, Bigger-
than, Has-color, ...
• Quantifiers: allow the representation of properties that hold for a collec-
tion to objects
– Existential: ∃x, ’there is an x’
– Universal: ∀x, ’for all x’
Truth
• A predicate is true if the interpretation of the predicate evaluates to ’true’
• Logical connectives are interpreted just like in propositional logic
• ∀xϕ(x) is true if ϕ is true for all variable assignments
• ∃xϕ(x) is true if ϕ is true for some variable assignments
Equivalences
¬(¬F ) ≡ F (a)
F ∨G ≡ G∨F (b)
F ∧G ≡ G∧F (c)
(F ∧ G) ∧ H ≡ F ∧ (G ∧ H) (d)
(F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H) (e)
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) (f)
F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) (g)
F ↔G ≡ (F → G) ∧ (G → F ) (h)
F →G ≡ ¬F ∨ G (i)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G (j)
¬(F ∨ G) ≡ ¬ ∧ ¬G (k)
F ∧F ≡ F (l)
F ∨F ≡ F (m)
Table 1: Equivalences
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper chantalbanga. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 64438 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen