100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting Lineaire Algebra (deel 2) €3,54
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Universiteit Utrecht (UU)
  4.  
  5. Lineaire Algebra (WISB108)

Samenvatting

Samenvatting Lineaire Algebra (deel 2)

1 beoordeling
 2 keer verkocht

Dit is een samenvatting van Lineaire Algebra (deel 2), zoals gegeven op de Universiteit Utrecht. Het eerste deel van de samenvatting is ook op mijn account te vinden.

Voorbeeld 2 van de 9  pagina's

Document informatie

  • 31 maart 2021
  • 9
  • 2019/2020
  • Samenvatting

Onderwerpen

Geschreven voor

Alle documenten voor dit vak (2)

1  beoordeling

review-writer-avatar

Door: ArbitrarilyArbitrary • 2 jaar geleden

Verkoper

avatar-seller
brenda00

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

LINEAIRE ALGEBRA DEEL 2



LINEAIRE AFBEELDING

Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen:

1. Voor elke ~x, ~y ∈ V geldt A(~x + ~y ) = A(~x) + A(~y ).

2. Voor elke λ ∈ R, ~x ∈ V geldt A(λ~x) = λA(~x).

Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij M een m × n-
matrix met reële coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan ~x ∈ Rn de vector M~x ∈ Rm toekent,
is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers
dat M (~x + ~y ) = M~x + M ~y en M (λ~x) = λM~x.

Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeeld-
ing. Dan geldt:

1. Voor elk tweetal ~x, ~y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λ~x + µ~y ) = λA(~x) + µA(~y ).

2. A(~0) = ~0

Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle ~x ∈ V met
f (~x) = ~0. Notatie: ker(f ). De kern van een lineaire afbeelding is een lineaire deelruimte van
V . De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden. Zij V, W een tweetalnvec-
o
torruimten en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = ~0 .

Injectief: Als f (a) = f (b), dan a = b.
Surjectief: Als voor elke b ∈ B een element a ∈ A bestaat waarvoor f (a) = b met f : A → B.

We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V →
W bestaat. Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W . Dan
is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.

Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire afbeelding.
Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .

Een eindigdimensionale vectorruimte over R is altijd isomorfnmet Rn .oDit gaat als volgt:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis. Elke
~x ∈ V kan op unieke manier geschreven worden als ~x = x1~b1 + x2~b2 + ... + xn~bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , ..., xn de coördinaten van ~x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze
coördinaten noemen we de coördinatenkolom van ~x ten opzichte van B. We geven deze aan met
~xB . De toekenning ~x 7→ ~xB geeft een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn .




1

, LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE

Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire af-
beelding. n We nemen o aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m.
Zij B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis van V en C = {~c1 , ..., ~cm } een geordende basis van W .
We geven de coördinatenkolom van ~x ∈ V ten opzichte van B aan met ~xB . En evenzo is yC de
coördinatenkolom van y ∈ W ten opzichte van C.

Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W . Stel ~x ∈ V , y ∈ W zó dat ~y = A(~x). Zij
AB ~
C de m × n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte
B
van C te nemen. Dan geldt: ~yC = AC ~xB .

VOORBEELD
Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en beschouw de lineaire afbeelding D :
R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) → p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen
we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = 1, X, X 2 , X 3 . De


afbeelding D losgelaten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven we deze
vectoren uit ten opzichte van C(= B), dan vinden we de coördinaten kolommen
       
0 1 0 0
0 0 2 0
 , , , 
0 0 0 3
0 0 0 0

De matrix van D ten opzichte van B wordt dus
 
0 1 0 0
B
 0 0 2 0
DB =0 0

0 3
0 0 0 0

Een speciaal geval is dat W = V en A de identieke afbeelding I : V → V gegeven door I : ~x → ~x.
Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × n-matrix die we krijgen door als i-de
kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector ~bi te nemen. Dan geldt

~xC = ICB ~xB

Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C-coördinaten van ~x. We
noemen dit een coördinatentransformatie. Met de notaties als boven geldt dat ICB = IB C −1 .


Zij V, W en A : V → W . In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases
B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB B0
C en AC 0 kan bepaald worden door de
coördinatentransformatieformules. Er geldt
0 0
AB C B B
C 0 = I C 0 AC I B

Twee n × n-matrices A, B heten geconjugeerd als er een inverteerbare n × n-matrix bestaat zó
dat B = S −1 AS.



2

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper brenda00. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,54. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 66184 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis
€3,54  2x  verkocht
  • (1)
In winkelwagen
Toegevoegd