LINEAIRE ALGEBRA DEEL 2
LINEAIRE AFBEELDING
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen:
1. Voor elke ~x, ~y ∈ V geldt A(~x + ~y ) = A(~x) + A(~y ).
2. Voor elke λ ∈ R, ~x ∈ V geldt A(λ~x) = λA(~x).
Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij M een m × n-
matrix met reële coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan ~x ∈ Rn de vector M~x ∈ Rm toekent,
is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers
dat M (~x + ~y ) = M~x + M ~y en M (λ~x) = λM~x.
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeeld-
ing. Dan geldt:
1. Voor elk tweetal ~x, ~y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λ~x + µ~y ) = λA(~x) + µA(~y ).
2. A(~0) = ~0
Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle ~x ∈ V met
f (~x) = ~0. Notatie: ker(f ). De kern van een lineaire afbeelding is een lineaire deelruimte van
V . De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden. Zij V, W een tweetalnvec-
o
torruimten en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = ~0 .
Injectief: Als f (a) = f (b), dan a = b.
Surjectief: Als voor elke b ∈ B een element a ∈ A bestaat waarvoor f (a) = b met f : A → B.
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V →
W bestaat. Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W . Dan
is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire afbeelding.
Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Een eindigdimensionale vectorruimte over R is altijd isomorfnmet Rn .oDit gaat als volgt:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis. Elke
~x ∈ V kan op unieke manier geschreven worden als ~x = x1~b1 + x2~b2 + ... + xn~bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , ..., xn de coördinaten van ~x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze
coördinaten noemen we de coördinatenkolom van ~x ten opzichte van B. We geven deze aan met
~xB . De toekenning ~x 7→ ~xB geeft een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn .
1
, LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire af-
beelding. n We nemen o aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m.
Zij B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis van V en C = {~c1 , ..., ~cm } een geordende basis van W .
We geven de coördinatenkolom van ~x ∈ V ten opzichte van B aan met ~xB . En evenzo is yC de
coördinatenkolom van y ∈ W ten opzichte van C.
Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W . Stel ~x ∈ V , y ∈ W zó dat ~y = A(~x). Zij
AB ~
C de m × n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte
B
van C te nemen. Dan geldt: ~yC = AC ~xB .
VOORBEELD
Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en beschouw de lineaire afbeelding D :
R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) → p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen
we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = 1, X, X 2 , X 3 . De
afbeelding D losgelaten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven we deze
vectoren uit ten opzichte van C(= B), dan vinden we de coördinaten kolommen
0 1 0 0
0 0 2 0
, , ,
0 0 0 3
0 0 0 0
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus
0 1 0 0
B
0 0 2 0
DB =0 0
0 3
0 0 0 0
Een speciaal geval is dat W = V en A de identieke afbeelding I : V → V gegeven door I : ~x → ~x.
Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × n-matrix die we krijgen door als i-de
kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector ~bi te nemen. Dan geldt
~xC = ICB ~xB
Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C-coördinaten van ~x. We
noemen dit een coördinatentransformatie. Met de notaties als boven geldt dat ICB = IB C −1 .
Zij V, W en A : V → W . In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases
B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB B0
C en AC 0 kan bepaald worden door de
coördinatentransformatieformules. Er geldt
0 0
AB C B B
C 0 = I C 0 AC I B
Twee n × n-matrices A, B heten geconjugeerd als er een inverteerbare n × n-matrix bestaat zó
dat B = S −1 AS.
2
LINEAIRE AFBEELDING
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen:
1. Voor elke ~x, ~y ∈ V geldt A(~x + ~y ) = A(~x) + A(~y ).
2. Voor elke λ ∈ R, ~x ∈ V geldt A(λ~x) = λA(~x).
Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij M een m × n-
matrix met reële coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan ~x ∈ Rn de vector M~x ∈ Rm toekent,
is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers
dat M (~x + ~y ) = M~x + M ~y en M (λ~x) = λM~x.
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeeld-
ing. Dan geldt:
1. Voor elk tweetal ~x, ~y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λ~x + µ~y ) = λA(~x) + µA(~y ).
2. A(~0) = ~0
Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle ~x ∈ V met
f (~x) = ~0. Notatie: ker(f ). De kern van een lineaire afbeelding is een lineaire deelruimte van
V . De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden. Zij V, W een tweetalnvec-
o
torruimten en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = ~0 .
Injectief: Als f (a) = f (b), dan a = b.
Surjectief: Als voor elke b ∈ B een element a ∈ A bestaat waarvoor f (a) = b met f : A → B.
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V →
W bestaat. Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W . Dan
is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire afbeelding.
Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Een eindigdimensionale vectorruimte over R is altijd isomorfnmet Rn .oDit gaat als volgt:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis. Elke
~x ∈ V kan op unieke manier geschreven worden als ~x = x1~b1 + x2~b2 + ... + xn~bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , ..., xn de coördinaten van ~x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze
coördinaten noemen we de coördinatenkolom van ~x ten opzichte van B. We geven deze aan met
~xB . De toekenning ~x 7→ ~xB geeft een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn .
1
, LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire af-
beelding. n We nemen o aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m.
Zij B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis van V en C = {~c1 , ..., ~cm } een geordende basis van W .
We geven de coördinatenkolom van ~x ∈ V ten opzichte van B aan met ~xB . En evenzo is yC de
coördinatenkolom van y ∈ W ten opzichte van C.
Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W . Stel ~x ∈ V , y ∈ W zó dat ~y = A(~x). Zij
AB ~
C de m × n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte
B
van C te nemen. Dan geldt: ~yC = AC ~xB .
VOORBEELD
Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en beschouw de lineaire afbeelding D :
R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) → p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen
we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = 1, X, X 2 , X 3 . De
afbeelding D losgelaten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven we deze
vectoren uit ten opzichte van C(= B), dan vinden we de coördinaten kolommen
0 1 0 0
0 0 2 0
, , ,
0 0 0 3
0 0 0 0
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus
0 1 0 0
B
0 0 2 0
DB =0 0
0 3
0 0 0 0
Een speciaal geval is dat W = V en A de identieke afbeelding I : V → V gegeven door I : ~x → ~x.
Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × n-matrix die we krijgen door als i-de
kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector ~bi te nemen. Dan geldt
~xC = ICB ~xB
Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C-coördinaten van ~x. We
noemen dit een coördinatentransformatie. Met de notaties als boven geldt dat ICB = IB C −1 .
Zij V, W en A : V → W . In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases
B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB B0
C en AC 0 kan bepaald worden door de
coördinatentransformatieformules. Er geldt
0 0
AB C B B
C 0 = I C 0 AC I B
Twee n × n-matrices A, B heten geconjugeerd als er een inverteerbare n × n-matrix bestaat zó
dat B = S −1 AS.
2
