Inleiding Logica
Samenvatting
2020-2021
Week 1
Hoorcollege 1
Een redenering bestaat uit premissen en een conclusie, als de premissen waar zijn, dan moet de con-
clusie ook waar zijn. De geldigheid van een redenering hangt af van de vorm.
Verzameling: collectie bestaande uit elementen. Je definieert een verzameling door (1) de elementen
op te sommen of door (2) de elementen te beschrijven.
a ∈ A: a is een element uit de verzameling A
A ⊆ B: A is een deelverzameling van B, alle elementen die in A zitten, zitten ook in B
A ⊂ B: A is een echte deelverzameling van B, alle elementen die in A zitten, zitten ook in B en er is
minstens één element in B die niet in A zit.
extensionaliteitsaxiome: Als twee verzamelingen dezelfde elementen hebben, dan zijn ze gelijk (A = B).
Singleton: verzameling met slechts één element
Lege verzameling: verzameling zonder elementen (∅) Machtsverzameling: De machtsverzameling van
A bevat alle mogelijke deelverzamelingen van A (P (A))
De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling, behalve van zichzelf.
Doorsnede/intersectie: A ∩ B (bestaat uit alle elementen die zowel in A als in B zitten)
Vereniging: A ∪ B (bestaat uit alle elementen uit A en B)
Verschil: A − B (bestaat uit alle elementen uit A die niet in B zitten)
Complement: Ac (het complement van A relatief E bestaat uit alle elementen uit E die niet in A zitten)
Idempotentie: A × A = A
Commutatief: A × B = B × A
Associatief: (A × B) × C = A × (B × C)
(× stelt hierboven steeds een willekeurige operator voor)
Hoorcollege 2
Cartesisch product van A en B: {< x, y > | x ∈ A en y ∈ B}, bevat dus eigenlijk alle mogelijke relaties
tussen twee verzamelingen.
1
, Relatie:
Een deelverzameling van A × B is een tweeplaatsige/binaire relatie tussen verzamelingen A en B.
Relaties worden vaak grafisch weergegeven.
Domein en bereik
Als R ⊆ A × B, dan is het domein van R de verzameling van alle x ∈ A waarvoor er een y ∈ B is
waarvoor geldt dat < x, y >∈ R. Het bereik is dan de verzameling van alle y ∈ B waarvoor er een
x ∈ A is waarvoor geldt dat < x, y >∈ R.
Soorten relaties:
• Reflexief: altijd < x, x >∈ R
• Irreflexief: nooit < x, x >∈ R
• Symmetrisch: als < x, y >∈ R, dan ook < y, x >∈ R
• Asymmetrisch: als < x, y >∈ R, dan niet < y, x >∈ R
• Antisymmetrisch: als < x, y >∈ R en < y, x >∈ R dan x = y
• Transitief: als < x, y >∈ R en < y, z >∈ R, dan ook < x, z >∈ R (’Alles wat je in twee stappen
kan bereiken kan je ook in één stap bereiken.’)
• Intransitief: als < x, y >∈ R en < y, z >∈ R, dan niet < x, z >∈ R
Partiële orde:
– Reflexief
– Antisymmetrisch
– Transitief
Equivalentierelatie:
– Reflexief
– Symmetrisch
– Transitief
Functies
Een relatie f ⊆ A × B heet een functie als voor elke x ∈ A precies één element y ∈ B is waarvoor geldt
dat < x, y >∈ f .
We noteren zo’n functie als: f : A → B
Voor een functie f : A → B heet A het domein en B het codomein van de functie.
Voorbeeld van functiecompositie: g(f (a))
De functie f : A → B is:
– surjectief als: Voor elke b ∈ B is minstens één a ∈ A met f (a) = b.
– injectief als: Voor elke b ∈ B is hoogstens één a ∈ A met f (a) = b.
2
Samenvatting
2020-2021
Week 1
Hoorcollege 1
Een redenering bestaat uit premissen en een conclusie, als de premissen waar zijn, dan moet de con-
clusie ook waar zijn. De geldigheid van een redenering hangt af van de vorm.
Verzameling: collectie bestaande uit elementen. Je definieert een verzameling door (1) de elementen
op te sommen of door (2) de elementen te beschrijven.
a ∈ A: a is een element uit de verzameling A
A ⊆ B: A is een deelverzameling van B, alle elementen die in A zitten, zitten ook in B
A ⊂ B: A is een echte deelverzameling van B, alle elementen die in A zitten, zitten ook in B en er is
minstens één element in B die niet in A zit.
extensionaliteitsaxiome: Als twee verzamelingen dezelfde elementen hebben, dan zijn ze gelijk (A = B).
Singleton: verzameling met slechts één element
Lege verzameling: verzameling zonder elementen (∅) Machtsverzameling: De machtsverzameling van
A bevat alle mogelijke deelverzamelingen van A (P (A))
De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling, behalve van zichzelf.
Doorsnede/intersectie: A ∩ B (bestaat uit alle elementen die zowel in A als in B zitten)
Vereniging: A ∪ B (bestaat uit alle elementen uit A en B)
Verschil: A − B (bestaat uit alle elementen uit A die niet in B zitten)
Complement: Ac (het complement van A relatief E bestaat uit alle elementen uit E die niet in A zitten)
Idempotentie: A × A = A
Commutatief: A × B = B × A
Associatief: (A × B) × C = A × (B × C)
(× stelt hierboven steeds een willekeurige operator voor)
Hoorcollege 2
Cartesisch product van A en B: {< x, y > | x ∈ A en y ∈ B}, bevat dus eigenlijk alle mogelijke relaties
tussen twee verzamelingen.
1
, Relatie:
Een deelverzameling van A × B is een tweeplaatsige/binaire relatie tussen verzamelingen A en B.
Relaties worden vaak grafisch weergegeven.
Domein en bereik
Als R ⊆ A × B, dan is het domein van R de verzameling van alle x ∈ A waarvoor er een y ∈ B is
waarvoor geldt dat < x, y >∈ R. Het bereik is dan de verzameling van alle y ∈ B waarvoor er een
x ∈ A is waarvoor geldt dat < x, y >∈ R.
Soorten relaties:
• Reflexief: altijd < x, x >∈ R
• Irreflexief: nooit < x, x >∈ R
• Symmetrisch: als < x, y >∈ R, dan ook < y, x >∈ R
• Asymmetrisch: als < x, y >∈ R, dan niet < y, x >∈ R
• Antisymmetrisch: als < x, y >∈ R en < y, x >∈ R dan x = y
• Transitief: als < x, y >∈ R en < y, z >∈ R, dan ook < x, z >∈ R (’Alles wat je in twee stappen
kan bereiken kan je ook in één stap bereiken.’)
• Intransitief: als < x, y >∈ R en < y, z >∈ R, dan niet < x, z >∈ R
Partiële orde:
– Reflexief
– Antisymmetrisch
– Transitief
Equivalentierelatie:
– Reflexief
– Symmetrisch
– Transitief
Functies
Een relatie f ⊆ A × B heet een functie als voor elke x ∈ A precies één element y ∈ B is waarvoor geldt
dat < x, y >∈ f .
We noteren zo’n functie als: f : A → B
Voor een functie f : A → B heet A het domein en B het codomein van de functie.
Voorbeeld van functiecompositie: g(f (a))
De functie f : A → B is:
– surjectief als: Voor elke b ∈ B is minstens één a ∈ A met f (a) = b.
– injectief als: Voor elke b ∈ B is hoogstens één a ∈ A met f (a) = b.
2
