In deze samenvatting wordt alles uitgelegd van kansrekening. Alles in de samenvatting is ook visueel gemaakt. Het vak wordt samen gegeven met statistiek, maar ik heb 2 aparte samenvattingen gemaakt zodat het overzichtelijk blijft.
Inhoudsopgave
1. Kansrekening......................................................................................................................................1
1.1 Inleiding........................................................................................................................................2
1.2 Begripsvorming.............................................................................................................................2
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte.................................................................2
1.2.2 Gebeurtenissen en kans............................................................................................................3
1.2.3. Kans en getal.............................................................................................................................4
1.3 Enkelvoudige kansexperimenten..................................................................................................6
1.4 Meervoudige kansexperimenten..................................................................................................6
2. Soorten kansen...................................................................................................................................7
2.1. Inleiding.......................................................................................................................................7
2.1 Experimentele kans......................................................................................................................7
2.2 Empirische kansen........................................................................................................................9
3. Rekenregels voor kansen....................................................................................................................9
3.1 EN-regel........................................................................................................................................9
3.2 OF-regel......................................................................................................................................10
3.3 Hoe los je een kansprobleem op.................................................................................................12
3.4 Complementregel.......................................................................................................................13
4. Onafhankelijk en afhankelijke gebeurtenissen.................................................................................14
4.1 Voorwaardelijke kans.................................................................................................................14
4.2 (On)afhankelijke gebeurtenissen................................................................................................14
5. Een eerst kijk op: kansverdelingen en stochasten............................................................................15
5.1 Wat is een kansverdeling? Wat is een stochast?........................................................................15
6. De verwachtingswaarde van een stochast........................................................................................16
6.1 Rekenkundig gemiddelde...........................................................................................................17
6.1 Stochastisch gemiddelde of verwachtingswaarde......................................................................17
7. De standaarddeviatie van een stochast............................................................................................18
7.1 Statistische standaarddeviatie....................................................................................................18
1. Kansrekening
,1.1 Inleiding
Als we het hebben over de kans dat iets gebeurt, dan hebben we allemaal wel
een bepaald idee wat begrip betekent. Als we een muntstuk gooien dan weten
1
we dat de kans op “kop” gelijk is aan . Zo is de kans op een 4 bij het eenmaal
2
1
gooien van een dobbelsteen gelijk aan .
6
1.2 Begripsvorming
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte
We gooien eenmaal met een dobbelsteen. We zijn geïnteresseerd in het aantal
ogen dat bovenkomt. Omdat de uitkomst van dit experiment niet te voorspellen
is, noemen we dit ook wel een kansexperiment. De mogelijke uitkomsten zijn 1,
2, 3, 4, 5 en 6. De verzameling van alle mogelijke uitkomsten noemen we de
uitkomstenruimte of de uitkomstenverzameling. We duiden dit aan met de
Griekse letter Omega: Ω . We noteren dit als Ω={1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Voorbeeld 1:
We gooien eenmaal met een geldstuk. Er zijn twee mogelijke uitkomsten,
Kop (K) en Munt (M). Er geldt: Ω={K,M }
Voorbeeld 2:
We trekken blindelings een kaart uit een volledig spel kaarten (52
kaarten). Indien we slechts letten op de kleur dan geldt:
Ω ={Harten, Klaveren, Ruiten, Schoppen\} .
Een kansexperiment is een experiment waarbij de uitkomst niet zeker en/of
niet te voorspellen is.
De uitkomstenruimte van een kansexperiment is de verzameling van alle
mogelijke uitkomsten. We duiden deze verzameling aan met de Griekse letter
Omega: Ω
, 1.2.2 Gebeurtenissen en kans
Bij kansrekening zijn we geïnteresseerd in de kans dat een gebeurtenis optreedt.
Een gebeurtenis kan bestaan uit een enkele uitkomst of een combinatie van
uitkomsten. Je kan bijvoorbeeld een kans hebben op “een 2” of “een even getal”.
De eerste gebeurtenis bestaat uit de uitkomst 2. De laatste gebeurtenis
correspondeert met de drie uitkomsten 2, 4 en 6.
Een gebeurtenis geven we aan met een hoofdletter, de gebeurtenis zelf plaatsten
we tevens tussen accolades {}.
Voorbeeld:
We gooien eenmaal met een dobbelsteen en bekijken welk aantal ogen
bovenkomt.
- De gebeurtenis A = {we gooien een 2} correspondeert met A=\{2\}
- De gebeurtenis A = {we gooien een even getal} correspondeert met
A=\{2, 4, 6\}
Een gebeurtenis is eigenlijk niet anders dan een gedeelte van de
uitkomstenruimte. We noemen dit officieel ook een deelverzameling.
Deelverzamelingen geven we aan met ovalen binnen de uitkomstenruimte Ω :
Kans wordt aangegeven met een
getal. Dat getal geeft aan hoe zeker of onzeker een gebeurtenis optreedt. Is de
kans 0 dan treedt het nooit op. Is deze kans 1 dan is het zeker! Hoe dichter bij de
1 des te zeker het geheel is.
In plaats van de getallen 0 en 1 wordt ook gewerkt met procenten (0% - 100%).
De kans op een gebeurtenis A noteren we als P(A) . P staat voor Probability.
Er geldt dus: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 voor alle gebeurtenissen A .
Indien A gelijk is aan de gehele uitkomstenruimte Ω dan geldt: P(Ω)=1 .
In de verzamelingenleer bestaat ook de “lege verzameling”. We noteren deze
als ⊘. Dit is de verzameling die geen enkel element bevat. Er geldt: P(⊘)=0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lamhundertmark. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
