College aantekeningen
Notities H4 ( Analyse 1 NA)
Aantekeningen colleges van H4 uit Adams van Analyse 1 NA
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 15 pagina's
Voorbeeld 2 van de 15 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Voorbeeld van de inhoud
Hoofdstuk 4: Toepassingen van differentiëren- (4.3) de regel van de l’Hopital
- Functie-onderzoek
- Benaderingen van functies d.m.v. (taylor)polynomen (Taylorbenaderingen)
De regel van l’Hopital
( Fy¥y
im
+→ a
wuurbij fly gas ,
→ o or I - ab x →a ( altijdmoeihjt) )
Laat f en g functies zijn die differentieerbaar zijn op een interval (a, a + E )
ti#te
to
en
maths -_¥jzg↳=e fingers sus -
or
-
-
Dan geldt :
Lima =
ma units deluutstelimietbestaut
Een soortgelijke uitspraak geldt ook voor de linkerlimiet IN -
rtu
u -
E
en dus ook voor de gewone limiet
De uitspraak geldt ook als a=± (dan f,g diff.baar voor x voldoende groot/klein)
Bewijs (met MWS) (voor rechterlimiet, a ∈ ℝ)
:
omdat f(x),g(x) —> 0 als x a kunnen we stellen dat f(a)=g(a)=0 (f,g dan rechtscontinue in a)
GMWS
FH-t-yug.FI?g=FIDmeraacaxcute
:
y
↳ -
gild
cels X.la dan gaut cook nauru
t.int#i .
II
'
,
hetgevula-xt-txflxs-J.lt
Nu
) Ect)
-
(substitute)
g↳=gL¥)=5Lt)
-
E's.TT#t:imoEEfitinoTIT .
g
tint
+ → no
y
'
( x)
I ' Hopi tu
fig # 4=2
→ x5 I
b. it
HEE fins E
-
vb.I.%EF.fi:
- -
a
S
. , ,
X city'd voerwaarde
XJ " checkers
-
I x -
I → o
sin x. x → o
niet
,
( ulsxo D
teller
-
↳ city
,
'
'd control even ,
Woerner 80
,
Irs l Hopi tale passer
, Sams meet je regal uukertoepussen :
b. tin '
I' E'
' ' '
+90 ±= . Limo =3
T -
cosy I → o
,
ab too
sins ,
2x → o
De regel gaat ook op als f(x),g(x) —> ± x als Kla ( xta ,
+ → a)
I
thx
1in - slim -1=0
x
* →A X
*→x
Inks ,
* → reals x → no
standaard limier
Vb -
too
lime
sinks =¥%÷ =t= , or .
¥ .
'
fig
.
'
Ii : =
ex -
I
,
since> → oats x → o → Attig'D doen (E) i. o
.
I = Eo .
1=1 l - -
-
I
I
Luks (H
'
x
Vb limxlnlx> = lion -
= lim -
= lion -
x
-
o
Iz
-
.
Ito Ho I Ho
-
xto
In s - no # → to als xto
,
sin x x cost I sinx
six)
- -
Ub lim
lim (I lin
¥
-
.
-
=
-
= -
= lim - = = O
85in sinxtxcosx
+ → o
x >o + → o
* →o Zcosx -
xsinx
sine
zsin×→o}a↳8→0
" l SO hoerner teller
all
to
-
x → o
- ,
,
A
z D=
- -
,
-
.
,
us x so
4.4-6: Functie-onderzoek
Gegeven een functie f, bepaal ‘belangrijke’ kenmerken van f zoals
- domein (voor welke x is f(x) gedefinieerd?)
- nulpunten (snijpunten van de grafiek met de assen)
- extreme waarden (maxima en minima) (kritieke, singuliere, randpunten)
- asymptoten van de grafiek, algemener: gedrag van f aan de randen van het domein
- (buigpunten)
- wat verder nog nodig is (als je niet veel van de bovenstaande kan vinden)
Extreme waarden:
als f’(x)>0 op een interval I dan is f strict stijgend op I
als f’(x)<0 op een interval I dan is f strict dalend op I
Als f niet-dalend op I is dan is f’(x)>0 voor x ∈ I -
Als f niet-stijgend op I is dan is f’(x)<0 voor x ∈ I →
nietattijd Vb fix)=x strict stipend Muar - :
,
?
F' Coto /
MW
Als f in a diff.baar is en f neemt in a een minimum of maximum aan, dan is f’(a)=0 ~_
min
a heet in dit geval een kritiek (of stationair) punt van f: —> beter: een kritiek punt of
stationair punt is een a ∈ ℝ zodat f’(a)=0 (dus een nulpunt van f’)
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper sambeckers2. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 52510 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen