Samenvatting van de belangrijke begrippen en stellingen van kwantummechanica gebaseerd op het boek van Griffiths. Dit is niet een samenvatting van het hele boek, na H7 is niet behandeld.
,1 The Wave Function
Wave Function : The state of a quantum mechanical system is described
by its wave function Ψ(x, t). The wave function is found by solving the
Schrödinger Equation :
∂Ψ(x, t) ~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
i~ =− + V (x, t)Ψ(x, t)
∂t 2m ∂x2
Ra
Born’s statistical interpretation is that b |Ψ(x0 , t0 )|2 dx gives the probabil-
ity of finding the particle between positions a and b at time t (the integral
must be normalized). When measurements provide a position c, the wave
function is said to have collapsed to a spike at c.
Operators : An operator is a function that represents a physical state of
∂
a system. For position this is x̂ = x and for momentum p̂ = −i~ ∂x . All
operators of classical variables Q̂ can be expressed as functions of p̂ and x̂,
p̂2
for instance T̂ = 2m . The expectation value is:
Z
hQ̂(x, p)i = Ψ(x, t)Q̂(x, p)Ψ(x, t) dx
Ehrenfest’s Theorem : Expectation values obey classical laws, so
dhpi ∂V (x, t) dhxi
= − and hvi =
dt ∂x dt
De Broglie Formula : The wavelength of a particle is related to it’s mo-
mentum by:
2π~
p=
λ
Heisenberg’s Uncertainty Principle : The more precise a wave’s position
is, the less precise its wavelength. This observation translates to:
~
σx σp ≥
2
where σx and σp are the standard deviation is x and p respectively.
Hamiltonian : The total energy of the system is described by the Hamilto-
nian:
p2 ~2 ∂ 2
H(x, p) = + V (x, t), Ĥ(x, p) = − + V (x, t)
2m 2m ∂x2
2
, Time-independent Schrödinger Equation : Assume that V is indepen-
dent of t. Then the time-independent Schrödinger equation is:
~2 d2 ψ(x)
− + V (x)ψ(x) = Eψ(x) ⇔ Ĥψ = Eψ
2m dx2
Where ψ is a function of x only. For separable solutions, that is Ψ(x, t) =
ϕ(t)ψ(x), the general solution is a linear combination of separable solutions.
So we have a general solution:
∞
X iEn t
Ψ(x, t) = cn ψn (x)e− ~
n=1
for each allowed energy En . Separable solutions are stationary states, mean-
ing that every expectation value is constant in time.
Infinite Square Well : Suppose V (x) = 0 if 0 ≤ x ≤ a and V (x) = ∞ oth-
erwise. The time-independent Schrödinger equation is the simple harmonic
oscillator equation:
√
d2 ψ 2 2mE
2
= −k ψ, where k :=
dx ~
n2 π 2 ~2
The possible values of E are En = 2ma2
and has solutions:
r
2 nπx
ψn = sin
a a
R
The ψ’s are orthonormal, that is ψm (x)ψn (x) dx = δnm , and they are
complete. ThisPmeans that any function f (x) can be expressed as its Fourier
series; f (x) = ∞
n=1 cn ψn (x). So the nth coefficient of the expansion is:
Z ∞
cn = ψn (x)f (x) dx
−∞
|cn |2 give the probability of finding an energy of En . This probability is
independent of time, which makes it a manifestation of conservation of energy
in Quantum Mechanics. The expectation value of the Hamiltonian is:
∞
X
hHi = |cn |2 En
n=1
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper RichardSchoonhoven. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
