Samenvatting
JADS Premaster - Data-structures and Algorithms Summary
Summary for the Data-structures and Algorithms course of the Premaster Data Science and Entrepreneurship.
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 21 pagina's
Voorbeeld 2 van de 21 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
1. Mathematical RulesSquare Root Rules logc (ab ) = b · logc (a)
√a = a1÷b
b
logb (a) = logc (a) ÷ logc (b)
logc (1 ÷ a) = − logc (a)
Fraction Rules logc (c) = c
a b a+b
c + c = c logc (1) = 0
a
c − bc = a−bc
a b a·d c·b Summation Rules
c + d = c·d + c·d = a·d+c·b
c·d k
a b a·d c·b a·d−c·b ∑ f (i)
c − d = c·d − c·d = c·d is the sum of f (i) between j and k
i=j
a
c · bd = a·b
c·d 10 10
a
c ÷ d = ac · db = a·d
b
c·b
∑ 5i = 5 ∑ i2
2
common factor sum
i=1 i=1
n n
Exponent Rules ∑ 10 = 10 ∑ 1 = 10n constant sum
ca · cb = ca+b i=1 i=1
ac · bc = (a · b)c k l k
ca / cb = ca−b
∑ f (i) = ∑ f (i) + ∑ f (i) splitting sum
i=j i=j i=l+1
ac ÷ bc = (a ÷ b)c n n
(ca )b = ca·b ∑ (n − i) = ∑ i reverses sum
c−a = 1 ÷ ca i=0 i=0
n
c0 = 1 ∑i= n(n+1)
is arithmetic series O(n2 )
2
c1 = c i=1
0c = 0 n
q n+1 −1
∑ qi = q−1 is geometric series O(q n )
i=0
Logarithm Rules n n
logc (a · b) = logc (a) + logc (b) ∑ 1
i =∫ 1
x · dx is harmonic series O(log n)
logc (a ÷ b) = logc (a) − logc (b) i=1 1
2. Mathematical Proofs
Writing Proofs
● State the proof techniques used (i.e. loop invariant, induction, etc.)
● Keep a linear flow
● Describe every step clearly in words
● Don’t use complicated notation
● Make sure your assumptions are actually obvious
● Finish your proof
1
, Direct Proof
Proving a statement by using a sequence of manipulations (i.e. p ⇒ q )
Example:
If n is an odd integer then n2 is odd.
We assume that n is odd.
n = 2k + 1
n2 = (2k + 1)2 = (2k)2 + 2 · (2k) + 12 = 2 · (2k 2 + 2k) + 1
2
Thus n2 is odd, since it has the form 2k ′ + 1 with k ′ = (2k + 2k) .
Contraposition Proof
Proving a statement by using its inverse (i.e. p ⇒ q by not q ⇒ not p )
Example:
For integer n , if 3n + 2 is odd then n is odd.
We assume that if n is even, then 3n + 2 is even.
Solve with regular direct proof...
Contradiction Proof
Proving a statement by assuming it’s false (i.e. to prove q assume not q)
Example:
This statement is false by definition of the big-O notation. We will prove that this statement is false by
contradiction. There exists positive constants c and n0 such that 0 ≤ n2 log2 (n) ≤ cn2 for all n ≥ n0
0 ≤ log2 (n) ≤ c , we know that logarithmic functions grow faster than constants. Thus for any positive
value of c and n0 , there will exist such that n ≥ no with log2 (n) > c
We have reached a contradiction and the only conclusion can be that our assumption must be false.
Hence, the statement must be false.
Example Proof
Proving a statement by fulfilling a condition and giving a example (i.e. there is an integer x such
that x < 100 )
Example:
This statement is true by definition of the big-Θ notation. By definition n2 − 5n + 10 = Θ(n2 ) , if there exists
positive constants c1 , c2 and n0 such that 0 ≤ c1 n2 ≤ n2 − 5n + 10 ≤ c2 n2 for all n ≥ n0
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tomdewildt. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen