Samenvatting
Summary probability and statistics
- Instelling
- Tilburg University (UVT)
Summary of the first years course probability and statistics
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 10 pagina's
Voorbeeld 2 van de 10 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Contents1 Chapter 4 2
1.1 Discrete case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Continuous case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 more properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Empirical distribution functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Chapter 5 3
2.1 Conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Bivariate Normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Chapter 6 4
3.1 CDF-approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 pdf-approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 mgf approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Order statistics and their distribution . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.5 Jensen inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 chapter 7 6
4.1 Convergence in terms of densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Weak law of large numbers (WLLN) . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 Delta Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Chapter 8 7
5.1 Chi-square distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 F- distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Chapter 9 8
6.1 Method of moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 Method of Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.3 quality of estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.4 Cramer-Rao inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
, 1 Chapter 4
The k-dimensional discrete random vector (X1 , ...., Xk ) has a density function
defined by:
f (x1 , ......, xk ) = P (X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xk = xk )
We will discuss a few multivariate distributions:
The mutinomial distribution, the extension of the binomial distribution:
xk+1
n!
P (X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xk = xk ) = x1 !∗x2 !∗...x∗k!∗x∗k+1! px1 1 px2 2 ∗ ...... ∗ pk+1
1.1 Discrete case
P P
Theorem: x1 .... xk f (x1 , ..., xk ) = 1 P
Definition for marginal densities: fX2 (x2 ) = allx1 f (x1 , x2 )
Definition: F (x1 , ..., xk ) = P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , ....., Xk ≤ xk
We also can have that:
P (x11 < X1 ≤ x12 , x21 < X2 ≤ x2 2)
= F (x12 , x22 ) − F (x12 , x21 ) − F (x11 , x22 + F (x11 , x21 ), is bigger or equal to zero,
obviously since it is a probability.
1.2 Continuous case
R xk R x1
F (x1 , ...., xk ) = −∞ ..... −∞ f (t1 , ..., tk )dt1 ....dtk
Hence it also holds that:
δk
f (x1 , ....., xk ) = δx .....δx1
F (x1 , ...., xk )
1
Additionally, taking the integral of all xi from −∞ to ∞ is equal to 1.
1.3 more properties
R R
P (X ∈ Region ) = Region f (x1 , x2 )dx1 dx2
For f (and F) we have that k random variables (X1 , ..., Xk ) are said to be inde-
pendent if f (x1 , ..., xk ) = fX1 (x1 ) ∗ ..... ∗ fXk (xk )
Conditional density is: f (x2 |x1 ) = ff(x 1 ,x2 )
X1 (x1 )
For f is a uni variate density function and (X1 , ..., Xn ) an n-dimensional random
vector, if g(x1 , ...., xn ) = f (x1 ) ∗ .... ∗ f (xn ) holds for the joint density g, then
X1 , ..., Xn is said to be a random sample
1.4 Empirical distribution functions
X1:n ≤ X2:nP≤ ... ≤ Xn:n The empirical distribution function is defined by:
n
Fn (x) = n1 i=1 1(−∞,x) (Xi )
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper jochemnauta. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 52510 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen