Overig
uitwerking tussentoets 2
- Vak
- Micro-economie
- Instelling
- Erasmus Universiteit Rotterdam (EUR)
[Meer zien]
Voorbeeld 3 van de 4 pagina's
Voorbeeld 3 van de 4 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Wiskunde 1Uitwerkingen Tussentoets 2
Opgave 1
dQ
Bepaal ds
, waarbij Q impliciet gedefinieerd is door
eQs + Qs = Q + s
Antwoord
dQ
We schrijven ds
= Q0 . Door links en rechts te differentiëren leiden we af
eQs + Qs = Q + s
d d
⇒ ds
eQs + Qs = ds
(Q + s)
⇒ (Q0 s + Q)eQs + Q0 s + Q = Q0 + 1
⇒ (seQs + s − 1)Q0 = −(QeQs + Q − 1)
Qs
⇒ Q0 = − Qe +Q−1
seQs +s−1
Opgave 2
Bepaal voor welke waarden van x de functie f (x) continu is.
6
x − 2x3 + 3x als x ≤ 1
f (x) = 2x−2
ln(x)
als x > 1
1
,Antwoord
We weten dat x6 − 2x3 + 3x continu is en dat 2x−2 ln(x)
continu is voor x > 0. Daaruit concluderen
we dat f (x) in ieder geval continu is voor alle x 6= 1. Er rest ons te controleren of f (x) continu
is in x = 1. We berekenen eerst de linker limiet.
lim f (x) = lim− x6 − 2x3 + 3x
x→1− x→1
=2
Om de rechter limiet te berekenen merken we eerst op dat limx→1+ 2x−2 = 0 en limx→1+ ln(x) = 0,
oftewel limx→1+ 2x−2
ln(x)
is niet direct te bepalen ( 00 ?). We passen de regel van L’Hôpital toe.
2x − 2
lim+ f (x) = lim−
x→1 x→1 ln(x)
2
= lim− 1
x→1
x
= lim− 2x
x→1
=2
Omdat de linker en rechter limiet gelijk zijn geldt dat de limiet van f (x) ook bestaat voor x → 1.
Verder geldt dat f (1) = 2 = limx→1 f (x). Daaruit concluderen we dat f (x) continu is, oftewel
f (x) is continu voor alle waarden van x.
Opgave 3
1 5
Vind de buigpunten van f (x) = 10
x − x4 + 3x3 + 8x − 3.
2
, Antwoord
Een buigpunt is een punt a zodanig dat f 00 (a) = 0 en waarvoor geldt dat f 00 (x) van teken wisselt
bij x = a. We berekenen eerst de afgeleide.
1
f 0 (x) = x4 − 4x3 + 9x2 + 8
2
Nu berekenen we de tweede afgeleide.
f 00 (x) = 2x3 − 12x2 + 18x
= 2x(x2 − 6x + 9)
= 2x(x − 3)(x − 3)
We zien dat mogelijke buigpunten zijn x = 0 en x = 3.
We onderzoeken nu of de tweede afgeleide van teken wisselt bij de kandidaat buigpunten. Om te
zien of f 00 (x) van teken wisselt bij x = 0 vullen we bijvoorbeeld x = −1 en x = 1 in. We vinden
dat f 00 (−1) = −32 < 0 en f 00 (1) = 8 > 0, en dus wisselt f 00 (x) van teken bij x = 0. Het punt
x = 0 is een buigpunt.
Om te zien of f 00 (x) van teken wisselt bij x = 3 vullen we bijvoorbeeld x = 1 en x = 4 in. We
vinden dat f 00 (1) = 8 > 0 en f 00 (4) = 8 > 0, en dus wisselt f 00 (x) niet van teken bij x = 3. Het
punt x = 3 is geen buigpunt.
Het punt x = 0 is het enige buigpunt van f (x).
Opgave 4
2 −2x−24
Geef het globale maximum van f (x) = ex met domein [−6, 6].
Antwoord
De kandidaten voor het globale maximum zijn de stationaire punten en de randpunten van het
domein. We bepalen de stationaire punten door de afgeleide van f (x) gelijk te stellen aan 0.
f 0 (x) = 0
x2 −2x−24
⇒ (2x − 2)e = 0
⇒ 2x − 2 = 0
⇒ x = 1
De kandidaten voor het globale maximum zijn dus x = −6, x = 1 en x = 6. Invullen levert
f (−6) = e24 , f (1) = e−25 en f (6) = 1. We concluderen dus dat het globale maximum gegeven is
door x = −6 met maximale functie waarde e24 .
Opgave 5
Kan een functie tegelijkertijd convex en concaaf zijn? Zo ja, geef een voorbeeld. Zo nee, waarom
3
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper akka10. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €0,00. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 68175 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen