De samenvatting is gebaseerd op de reader van analytische meetkunde. De meetkundige plaats is zeer beknopt samengevat. Bekijk daarvoor de reader en de voorbeelden.
Zelf heb ik een 8,8 gehaald met deze samenvatting.
HOOFDSTUK 1: LIJNEN
Er zijn verschillende notatievormen voor de vergelijking van een rechte lijn:
1. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
3. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 −𝑦
4. 𝑦 − 𝑦1 = 2 1 (𝑥 − 𝑥1)
𝑥2 −𝑥1
𝑥 𝑦
5. +𝑏 = 1
𝑎
Dit is de assenvergelijking
door (a, 0) en (0, b).
Bewijzen uit dit hoofdstuk.
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door (𝑥1 , 𝑦1 ) met hellingsgetal m.
Gebruik de vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en vul 𝑥1 , 𝑦1 en m in.
Dit wordt 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏, dus 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 .
De lijn wordt dan: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1 ofwel 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ).
𝑦 −𝑦
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en
2 1
(𝑥2 , 𝑦2 ).
∆𝑦 𝑦 −𝑦
De lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 ) heeft de richtingscoëfficiënt ∆𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 . Als je dit invult
2 1
𝑦 −𝑦
in de derde vergelijking krijg je: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ).
2 1
𝑥 𝑦
• Bewijs dat de punten (𝑥, 𝑦) van de lijn door de punten (a, 0) en (0, b) voldoen aan 𝑎 + 𝑏 = 1.
We gebruiken de vierde vergelijking en vullen hier de punten in.
𝑏−0
𝑦 − 0 = 0−𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑏
𝑦 = −𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑦 𝑥 𝑎
= −𝑎 − −𝑎
𝑏
𝑥 𝑦
𝑎
+𝑏 = 1
, HOOFDSTUK 2: LIJNEN
Loodrechte lijnen
Gegeven zijn de lijnen: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en
𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Deze staan loodrecht op elkaar in P.
De richtingscoëfficiënt van l is a. Elk stapje naar
rechts gaan we a omhoog.
Voor lijn m geldt dat als ik één naar rechts ga, ik
c omhoog ga (hier eigenlijk -c).
Zo worden Q en R geconstrueerd.
Driehoek PQR is ook rechthoekig (want PQ en PR
staan loodrecht op elkaar), dus:
|𝑃𝑅|2 + |𝑃𝑄|2 = |𝑄𝑅|2
1 + 𝑎 2 + 1 + (−𝑐)2 = (𝑎 − 𝑐)2
𝑎 2 + 𝑐 2 + 2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑐 + 𝑐 2
𝑎𝑐 = −1
Dus twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het
product van de richtingscoëfficiënten gelijk is
aan -1.
Hoek tussen twee lijnen
De hoek die gemaakt
wordt met de positieve x-
as kan worden berekend
met de tangens.
𝑎
tan(𝛼) = 1 = 𝑎
a is tenslotte de
richtingscoëfficiënt (1 naar
rechts is a omhoog).
𝑐
tan(𝛽) = 1 = 𝑐
Als twee lijnen elkaar
snijden ontstaat
daartussen een hoek. Die is
het verschil van de twee
hoeken die de lijnen maken
met de positieve x-as.
Bewijs:
In driehoek PQR geldt dat ∠PQR = 180° – β
Dus geldt voor ∠RPQ = 180° - ∠PRQ - ∠PQR
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper cdenhollander. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
