Samenvatting

Samenvatting notes Lebesgue measure and integral

0 keer verkocht

Vak
Analyse 2

Instelling
Radboud Universiteit Nijmegen (RU)

Samenvatting van het extra material van Wadim Zulidin dat niet in het boek van Garling te vinden is. (Zie samenvatting van Garling voor alle overige stof)

[Meer zien]

Voorbeeld 2 van de 5 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 11 januari 2022
Aantal pagina's 5
Geschreven in 2021/2022
Type Samenvatting

analyse
lebesgue
maten
meetbaarheid
integralen
analyse 2
wadim zudilin
notes lebesgue measure and integral

Volgen

Daniellee217 Lid sinds 10 jaar 34 documenten verkocht

€3,49

In winkelwagen

Opslaan

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

Analyse samenvatting notes Lebesgue Measure and Integral
(Wadim Zudilin)

Daniëlle Kruger
January 11, 2022

Contents
1 Lebesgue measure 1

2 Measurable functions 3

3 Lebesgue integral 4

1 Lebesgue measure
Qd Qd
Voor een reguliere open (B = i=1 (ai , bi )) of gesloten box (B = i=1 [ai , bi ]) hebben we een notie van
Qd
volume: i=1 (bi − ai ). Maar niet in alle verzamelingen kunnen we meten. Wat weten we over meetbare
verzamelingen?
1. Borel eigenschap: elke open verzameling in Rd is meetbaar net als elke gesloten verzameling
2. Complementen: als Ω ∈ Rd meetbaar is, dan is Rd \Ω ook meetbaar
3. Booleaanse algebra eigenschap: voor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van meetbare verzamel-
ing, zijn de vereniging ∪ni=1 Ωi en de doorsnede ∩ni=1 Ωi ook meetbaar
4. σ-algebra eigenschap: voor een (oneindige) aftelbare collectie {Ωi }i∈I van meetbare verzamelin-
gen, zijn de vereniging ∪i∈I Ωi en de doorsnede ∩i∈I Ωi ook meetbaar
De Lebesgue maat µ is gedefinieerd op meetbare verzamelingen in Rd en heeft de volgende eigenschap-
pen:
5. Lege verzameling eigenschap: µ(∅) = 0
6. Positiviteit: µ ≥ 0
7. Monotoniciteit: als Ω1 , Ω2 meetbaar zijn, en Ω1 ⊂ Ω2 , dan µ(Ω1 ) ≤ µ(Ω2 )
8. Eindige deelsom:
Pn voor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van meetbare verzamelingen geldt
µ(∪ni=1 Ωi ) ≤ i=1 µ(Ωi )
9. Eindige som: Pnvoor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van disjuncte meetbare verzamelingen geldt
µ(∪ni=1 Ωi ) = i=1 µ(Ωi )
10. Aftelbare
P deelsom: voor een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van meetbare verzamelingen geldt µ(∪i∈I Ωi ) ≤
i∈I µ(Ω i )

P voor een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van disjuncte meetbare verzamelingen geldt
11. Aftelbare som:
µ(∪i∈I Ωi ) = i∈I µ(Ωi )

12. Normalisatie: de eenheids(hyper)kubus [0, 1]d heeft maat µ([0, 1]d ) = 1
13. Translatie-invariant: als Ω ∈ Rd meetbaar is en x ∈ Rd , dan is x + Ω = {x + y : y ∈ Ω} ook
meetbaar en µ(x + Ω) = µ(Ω)

1

, Stelling 7.1: er bestaat een concept van meetbare verzamelingen in Rd en een manier om µ(Ω) = µd (Ω)
toe te wijzen aan elke meetbare verzameling Ω ⊂ Rd zodat aan alle eigenschappen hierboven (1 t/m 13)
is voldaan.
Exercise
S∞ 7.2: a als Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ Ω3 ⊂ · · · een stijgende rij van meetbare verzamelingen is, dan geldt
µ( n=1 Ωn ) = limn→∞ µ(Ωn ); bT als Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ Ω3 ⊃ · · · een dalende rij van meetbare verzamelingen
∞
is, en µ(Ω1 ) < +∞ dan geldt µ( n=1 Ωn ) = limn→∞ µ(Ωn ).

Een collectie {Bi }i∈I van open boxen overdekt een gegeven verzameling Ω ∈ Rd als Ω ⊂ i∈I Bi . De
S
d
buitenmaat/outer measure
∗ ∗
P van een verzameling Ω ⊂ R (niet noodzakelijk meetbaar!) definiëren
we als: µ (Ω) = µd (Ω) = inf{ i∈I vold (Bi ) : {Bi }i∈I overdekt Ω, I is op zijn hoogst aftelbaar}. Volgens
lemma 7.1 voldoet de buitenmaat aan eigenschappen 5 t/m 8, 10 en 13.

Exercise 7.3: zij Ω ⊂ Rd en Θ ⊂ Rm , en Ω × Θ = {(ω, θ) : ω ∈ Ω, θ ∈ Θ} in Rd+m . Dan geldt
µ∗d+m (Ω × Θ) ≤ µ∗d (Ω)µdm (Θ) als het product niet van de vorm 0 · (+∞) of (+∞) · 0 is.
Qd
Lemma 7.2: de buitenmaat van een gesloten box B = j=1 [aj , bj ] is gelijk aan het volume.
Qd
Lemma 7.3: de buitenmaat van een open box B = j=1 (bj − aj ) is gelijk aan zijn volume. In het
bijzonder voldoet het aan de normalisatie-eigenschap.
Exercise 7.4: µ∗d (Rd ) = +∞ voor elke d ≥ 1.
Exercise 7.5: zij f : U → R een continue reëelwaardige functie gedefinieerd over een box U in Rd−1 en
zij Ω = {(x, f (x)) : x ∈ U } ⊂ Rd de grafiek. Dan geldt µ∗d (ω) = 0.
Lemma 7.4: de buitenmaat van een verzameling Q van reële rationele nummers is gelijk aan 0.
Lemma 7.5: de buitenmaat van de verzameling R\Q van reële rationele nummers is gelijk aan +∞.
Exercise 7.6: µ∗ (Q ∩ [0, 1]) = 0 en µ∗ ((R\Q) ∩ [−, 1]) = 1.
Lemma 7.6 (gebrek aan aftelbare som): er bestaat een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van disjuncte
verzamelingen in R zodat µ∗ ( i∈I Ωi ) 6= i∈I µ∗ (Ωi ).
S P
Lemma 7.7 (gebrek aan eindige Tn Pn er bestaat een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van disjuncte
som):
verzamelingen in R zodat µ∗ ( i=1 Ωi ) 6= i=1 µ∗ (Ωi ).

Een verzameling Ω ⊂ Rd is (Lebesgue) meetbaar als de gelijkheid µ∗ (X) = µ∗ (X ∩Ω)+µ∗ (X\Ω) geldt
voor elke verzameling X in Rd . De Lebesgue maat van een meetbare verzameling Ω is µ(Ω) = µ∗ (Ω),
zijn buitenmaat.

Exercise 7.7: a zij X een open interval in R, dan geldt µ∗ (X) = µ∗ (X ∩ (0, ∞)) + µ∗ (X\(0, ∞));
b zij X een open box in Rd en zij Ω = {(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : xn > 0} de halve ruimte. Dan geldt
µ∗ (X) = µ∗ (X ∩ Ω) + µ∗ (X\Ω); c Ω is dus een meetbare verzameling in Rd . (dit geldt ook voor andere
halfruimtes)
Lemma 7.8 (eigenschappen van meetbare verzamelingen): zij Ω, Ω1 en Ω2 meetbare verzamelin-
gen, en zij x ∈ Rd . Dan:
a C(Ω) = Rd \Ω is meetbaar;
b (translatie invariantie) x + Ω is meetbaar en er geldt µ(x + Ω) = µ(Ω);
c Ω1 ∪ Ω2 en Ω1 ∩ Ω2 zijn meetbaar;
d (Booleaanse algebra eigenschap) Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωm en Ω1 ∩ Ω2 ∩ · · · ∩ Ωm zijn meetbaar;
e elke open box en elke gesloten box is meetbaar.
Exercise 7.8: zij aX ∈ [0, 1] zodat X = aX + Q, en zijn A = {aX : X ∈ R\Q}. Dan is A niet meetbaar.
Lemma 7.9 (eindige som): voor een collectie Ω1 . . . , Ωn van paarsgewijs
Sn disjuncte
Pn meetbare verza-
∗ ∗
melingenSin Rd en voor elke verzameling X ∈ Ω hebben we µ (X ∩ Ω
i=1 ) i) = i=1 µ (X ∩ Ωi ). Verder
n Pn
geldt µ( i=1 Ωi ) = i=1 µ(Ωi ).
Lemma 7.10: als Ω1 ⊂ Ω2 twee meetbare verzamelingen zijn met µ(Ω1 ) eindig, dan is Ω2 \Ω1 ook
meetbaar en geldt µ(Ω2 \Ω1 ) = µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ).
Lemma 7.11 (aftelbare som): zij {Ωi }i∈I een S aftelbare collectie van paarsgewijs disjuncte
P meetbare
verzamelingen in Rd . Dan is de verzameling Ω = i∈I Ωi meetbaar en geldt µ( i∈I Ωi ) = i∈I µ(Ωi ).
S
Lemma 7.12 (σ-algebra eigenschap): zij {Ωi }i∈I een aftelbare collectie van meetbare verzamelingen
in Rd . Dan zijn hun vereniging i∈I Ωi en hun doorsnede i∈I Ωi ook meetbaar.
S T

Lemma 7.13: elke open verzameling in Rd kan worden geschreven als een aftelbare of eindige vereniging
van open boxen.
Lemma 7.14 (Borel eigenschap): elke open verzameling en elke gesloten verzameling is Lebesgue
meetbaar.

2

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Daniellee217. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,49. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 66184 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Samenvatting

Samenvatting notes Lebesgue measure and integral

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud