Tentamen (uitwerkingen)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro

0 keer verkocht

Instelling
Maastricht University (UM)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro 6 Let v1, v2 ∈ ker T . Then T (av1 + bv2) = aT v1 + bT v2 = 0, so ker T is closed under linear combinations. Moreover ker T contains the zero vector of V. All the other vector space properties are easily seen to follow, so...

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 169 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 11 februari 2022
Aantal pagina's 169
Geschreven in 2021/2022
Type Tentamen (uitwerkingen)
Bevat Vragen en antwoorden

exam

, Solution Manual
for
Manifolds, Tensors, and Forms

Paul Renteln
Department of Physics
California State University
San Bernardino, CA 92407
and
Department of Mathematics
California Institute of Technology
Pasadena, CA 91125
prenteln@csusb. edu

, Contents

1 Linear algebra page 1
2 Multilinear algebra 20
3 Differentiation on manifolds 33
4 Homotopy and de Rham cohomology 65
5 Elementary homology theory 77
6 Integration on manifolds 84
7 Vector bundles 90
8 Geometric manifolds 97
9 The degree of a smooth map 151
Appendix D Riemann normal coordinates 154
Appendix F Frobenius’ theorem 156
Appendix G The topology of electrical circuits 157
Appendix H Intrinsic and extrinsic curvature 158

iii

, 1
Linear algebra

1.1 We have

0 = c1 (1, 1) + c2 (2, 1) = (c1 + 2c2 , c1 + c2 )
⇒ c2 = −c1 ⇒ c1 − 2c1 = 0 ⇒ c1 = 0 ⇒ c2 = 0,

so (1, 1) and (2, 1) are linearly independent. On the other hand,

0 = c1 (1, 1) + c2 (2, 2) = (c1 + 2c2 , c1 + 2c2 )

can be solved by choosing c1 = 2 and c1 = −1, so (1, 1) and (2, 2) are
linearly dependent (because c1 and c2 are not necessarily zero).
1.2 Subtracting gives

0= vi ei − vi ei = (vi − vi )ei .
i i i

But the ei ’s are a basis for V , so they are linearly independent, which implies
vi − vi = 0.
1.3 Let V = U ⊕ W , and let E := {ei }i=1 n
be a basis for U and F := { f j }mj=1 a
basis for W . Define a collection of vectors G := {gk }n+m k=1 where gi = ei for
1 ≤ i ≤ n and gn+i = f i for 1 ≤ i ≤ m. Then the claim follows if we can
show G is a basis for V . To that end, assume

n+m
n
m
0= ci gi = ci ei + ci f i .
i=1 i=1 i=1

The first sum in the rightmost expression lives in U and the second sum lives
in W , so by the uniqueness property of direct sums, each sum must vanish
by itself. But then by the linear independence of E and F, all the constants
ci must vanish. Therefore G is linearly independent. Moreover, every vector
v ∈ V is of the form v = u + w for some u ∈ U and w ∈ W , each of which

1

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper COURSEHERO2. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 67418 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis