100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na betaling Zowel online als in PDF Je zit nergens aan vast
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Exam (elaborations) TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro €8,99   In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Maastricht University (UM)
  4.  
  5. TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro

Tentamen (uitwerkingen)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro

 2 keer bekeken  0 keer verkocht

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Manifolds, Tensor and Forms An Intro 6 Let v1, v2 ∈ ker T . Then T (av1 + bv2) = aT v1 + bT v2 = 0, so ker T is closed under linear combinations. Moreover ker T contains the zero vector of V. All the other vector space properties are easily seen to follow, so...

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 169  pagina's

Document informatie

  • 11 februari 2022
  • 169
  • 2021/2022
  • Tentamen (uitwerkingen)
  • Vragen en antwoorden

Onderwerpen

  • exam

Geschreven voor

Alle documenten voor dit vak (1)

Verkoper

avatar-seller
COURSEHERO2

Voorbeeld van de inhoud

, Solution Manual
for
Manifolds, Tensors, and Forms


Paul Renteln
Department of Physics
California State University
San Bernardino, CA 92407
and
Department of Mathematics
California Institute of Technology
Pasadena, CA 91125
prenteln@csusb. edu

, Contents




1 Linear algebra page 1
2 Multilinear algebra 20
3 Differentiation on manifolds 33
4 Homotopy and de Rham cohomology 65
5 Elementary homology theory 77
6 Integration on manifolds 84
7 Vector bundles 90
8 Geometric manifolds 97
9 The degree of a smooth map 151
Appendix D Riemann normal coordinates 154
Appendix F Frobenius’ theorem 156
Appendix G The topology of electrical circuits 157
Appendix H Intrinsic and extrinsic curvature 158




iii

, 1
Linear algebra




1.1 We have

0 = c1 (1, 1) + c2 (2, 1) = (c1 + 2c2 , c1 + c2 )
⇒ c2 = −c1 ⇒ c1 − 2c1 = 0 ⇒ c1 = 0 ⇒ c2 = 0,

so (1, 1) and (2, 1) are linearly independent. On the other hand,

0 = c1 (1, 1) + c2 (2, 2) = (c1 + 2c2 , c1 + 2c2 )

can be solved by choosing c1 = 2 and c1 = −1, so (1, 1) and (2, 2) are
linearly dependent (because c1 and c2 are not necessarily zero).
1.2 Subtracting gives
  
0= vi ei − vi ei = (vi − vi )ei .
i i i

But the ei ’s are a basis for V , so they are linearly independent, which implies
vi − vi = 0.
1.3 Let V = U ⊕ W , and let E := {ei }i=1 n
be a basis for U and F := { f j }mj=1 a
basis for W . Define a collection of vectors G := {gk }n+m k=1 where gi = ei for
1 ≤ i ≤ n and gn+i = f i for 1 ≤ i ≤ m. Then the claim follows if we can
show G is a basis for V . To that end, assume

n+m 
n 
m
0= ci gi = ci ei + ci f i .
i=1 i=1 i=1

The first sum in the rightmost expression lives in U and the second sum lives
in W , so by the uniqueness property of direct sums, each sum must vanish
by itself. But then by the linear independence of E and F, all the constants
ci must vanish. Therefore G is linearly independent. Moreover, every vector
v ∈ V is of the form v = u + w for some u ∈ U and w ∈ W , each of which

1

Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!

Snel en makkelijk kopen

Snel en makkelijk kopen

Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper COURSEHERO2. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 82191 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen

Laatst bekeken door jou

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

Exsc 387 Midterm 1 quizzes 1-6 Questions and answers.
€8,99
  • (0)
  Kopen