Tentamen (uitwerkingen)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Principles of Mathematical Analysis

0 keer verkocht

Instelling
Maastricht University (UM)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Principles of Mathematical Analysis Similarly, it follows from Definition 1.12(M2), (M3), (M4) and (M5) that xy = x implies that y = 1. (c) Similarly, it follows from Definition 1.12(M2), (M3), (M4) and (M5) that xy = 1 implies that y = 1 x . (d) Since 1 x...

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 387 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 13 februari 2022
Aantal pagina's 387
Geschreven in 2021/2022
Type Tentamen (uitwerkingen)
Bevat Vragen en antwoorden

exam

, A Complete Solution Guide to
Principles of Mathematical Analysis

by Kit-Wing Yu, PhD

Copyright c 2018 by Kit-Wing Yu. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced,
stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-
copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the author.

ISBN: 978-988-78797-0-1 (eBook)
ISBN: 978-988-78797-1-8 (Paperback)

,List of Figures

2.1 The neighborhoods Nh (q) and Nr (p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Convex sets and nonconvex sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 The sets Nh (x), N h (x) and Nqm (xk ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
2.4 The construction of the shrinking sequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 The Cantor set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 The graph of g on [an , bn ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 The sets E and Ini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 The graphs of [x] and√(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 An example for α = 2 and n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 The distance from x ∈ X to E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 The graph of a convex function f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 The positions of the points p, p + κ, q − κ and q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1 The zig-zag path of the process in (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 The zig-zag path induced by the function f in Case (i). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 The zig-zag path induced by the function g in Case (i). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4 The zig-zag path induced by the function f in Case (ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 The zig-zag path induced by the function g in Case (ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6 The geometrical interpretation of Newton’s method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.1 The graph of the continuous function y = f (x) = (π − |x|)2 on [−π, π]. . . . . . . . . . . . 186
8.2 The graphs of the two functions f and g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3 A geometric proof of 0 < sin x ≤ x on (0, π2 ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4 The graph of y = | sin x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.5 The winding number of γ around an arbitrary point p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.6 The geometry of the points z, f (z) and g(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.1 An example of the range K of f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2 The set of q ∈ K such that (∇f3 )(f −1 (q)) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3 Geometric meaning of the implicit function theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4 The graphs around the four points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 The graphs around (0, 0) and (1, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.6 The graph of the ellipse X 2 + 4Y 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.7 The definition of the function ϕ(x, t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.8 The four regions divided by the two lines αx1 + βx2 = 0 and αx1 − βx2 = 0. . . . . . . . 252

10.1 The compact convex set H and its boundary ∂H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2 The figures of the sets Ui , Wi and Vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.3 The mapping T : I 2 → H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.4 The mapping T : A → D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.5 The mapping T : A◦ → D0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.6 The mapping T : S → Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

vii

, List of Figures viii

10.7 The open sets Q0.1 , Q0.2 and Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.8 The mapping T : I 3 → Q3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.9 The mapping τ1 : Q2 → I 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.10The mapping τ2 : Q2 → I 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.11The mapping τ2 : Q2 → I 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.12The mapping Φ : D → R2 \ {0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.13The spherical coordinates for the point Σ(u, v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.14The rectangles D and E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.15An example of the 2-surface S and its boundary ∂S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.16The unit disk U as the projection of the unit ball V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.17The open cells U and V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.18The parameter domain D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.19The figure of the Möbius band. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.20The “geometric” boundary of M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

11.1 The open square Rδ ((p, q)) and the neighborhood N√2δ ((p, q)). . . . . . . . . . . . . . . . 350

B.1 The plane angle θ measured in radians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
B.2 The solid angle Ω measured in steradians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
B.3 A section of the cone with apex angle 2θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper COURSEHERO2. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,49. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 69411 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis