College 1: Inleiding numerieke integratie
Componenten van een model:
1) Toestandsvariabelen (stock/state)
- Hoeveelheid die kan veranderen over tijd.
- Voorbeelden: kapitaal op de bank, bos, CO2 in de atmosfeer & hoeveelheid
studenten in een collegezaal.
- Vaak aangegeven met een rechthoek.
2) Snelheidsvariabelen (flux/flow)
- Beïnvloedt de toestand
- Voorbeelden: inkomen, groei van organismen, verbranding van fossiele
brandstoffen & inloop van studenten in een collegezaal.
- Eenheden: euro’s per maand, kg/jaar, L/dag & studenten per minuut.
- Vaak aangegeven met een soort kraan.
3) Parameters
- Bepalen de snelheidsvariabelen.
- Zijn constant voor het bestudeerde systeem.
- Voorbeelden: rentepercentage, reproductiefactor, rendement van
verbrandingsmotor & capaciteit van de collegezaal.
- Eenheden: %/jaar, /jaar, % & hoeveelheid studenten.
Voorbeeld: Het klimaatsysteem:
Toestandsvariabele: CO2-concentratie in de atmosfeer (ppm CO2)
Eenheden moet consistent zijn over het systeem.
Terugkoppelingen:
Vindt plaats als een verandering in een toestandsvariable de fluxen naar of vanuit die
toestandvariable beïnvloedt. Complexe oorzaak-gevolg-relaties.
Twee soorten terugkoppelingen:
1) Negatieve terugkoppeling
- Stabiliserend, balancerend dempend & zorgt voor evenwicht.
- Voorbeeld: thermostaat, lichaamstemperatuur & ecosystemen.
2) Positieve terugkoppeling:
- Zelfversterkend & vicieuze cirkels.
- Als A lager wordt B lager & als A groter wordt B ook groter. Bij 2x positief.
- Als A lager wordt B groter, A wordt dan weer kleiner. Bij 2x negatief.
- Voorbeeld: aardsysteem (temperatuur & reflectiviteit van de noordpool).
Differentiaalvergelijkingen:
Om dynamieken te bestuderen, dingen die veranderen.
Als X verandert in de tijd, dan beschrijft dX/dt de helling van de verandering van X op tijdstip
t; met andere woorden, hoeveel verandert X als t verandert.
Differentiaalvergelijking maken: uitspoeling van stikstof:
Toestandsvariabele N voor stikstofconcentratie in kg/hectare. (N t=0 = 100 kg
stikstof/hectare).
, Parameter a beschrijft de uitspoeling uit de bodem per dag: a = 0,02 per dag (2% van n
spoelt uit per dag).
Flux Nt a in kg stikstof per hectare per dag. Daarom a in dag-1.
Nt+delta t = Nt – a Nt delta t
-aN(t) = dN(t) / dt
Gedrag in tijd: differentiaalvergelijking oplossing:
Oplossen kan op twee manieren: analytisch (wiskunde) of numeriek (systeemanalyse).
Stap voor stap de waardes updaten.
Numerieke integratie: Euler-methode:
1) Bereken verandering van dNt = -a Nt dt
2) Bereken de nieuwe toestand Nt+dt = Nt – a N dt
3) Update de tijd, tnieuw = toud + dt, Nt = Nt+dt
Je neemt aan dat dN/dt gelijk blijft.
Numerieke integratie: Runge-Kutta-methode:
1) Bereken verandering van dNt
2) Bereken de voorlopige nieuwe toestand, Nt+dt
3) Bereken alvast de verandering, dNt+dt
4) Neem het gemiddelde van dNt en dNt+dt
5) Bereken de nieuwe toestand, Nt+dt
6) Update de tijd
Je maakt gebruik van een schatting.
College 2: Logistische groei
Visvangst:
100 x 10^6 ton vis/jaar
16 kg vis/
Opdracht: simpel model, groei + visvangst
Toestandsvariable: N = aantal vis.
Parameter: b = relatieve geboortesnelheid, bijv: 100 nieuwe vissen / 200 vissen /
jaar = 0,5 per jaar.
d = death rate, bijv: 50 vissen / 200 vissen / jaar = 0,25 per jaar.
Snelheidsvariable: b x N, toestandsvariable per tijd.
dN/dt = f(t, ruimte, geboorte, death rate)
1) Geboorte + sterfte -> eenheden controleren!
- dN/dt = b x N – d x N
Welk gedrag kunnen we hieruit halen?
Als d > b, aantal vissen neemt af. Snelheidsvariable is eerst heel groot en neemt steeds meer
af.
Als d = b, het aantal vissen blijft gelijk. Dynamisch.
Als d < b, aantal vissen neemt toe. Exponentiële groei.
Niet geloofwaardig.
