Dit is een samenvatting van Digitale Informatiesystemen (1103TEWWET). De samenvatting bevat slides, oefeningen, voorbeelden en notities van tijdens de les.
PART II
Hoe data voorstellen, verwerken en communiceren met digitale systemen
Discrete/Digitale grootheid = een grootheid die enkel met de allerkleinste stap (=kwantum) kan toe-
of afnemen. Discrete grootheden worden afgebeeld op gehele getallen waardoor het kwantum dus
het getal 1 is. Er bevinden zich geen andere gehele getallen tussen N en N+1 of N-1.
Continue/Analoge grootheid = een grootheid waarbij je geen kwantum kan definiëren omdat zij
worden afgebeeld op reële getallen. Zo vind je voor elke A en B, hoe klein het verschil ook is, steeds
het reële getal (A+B)/2.
De fysische wereld is een continue grootheid, maar kan ook een illusie zijn volgens de natuurkunde
omdat het volgens de natuurkunde een discrete grootheid is met een extreem klein kwantum.
Digitale systemen voeren bewerkingen uit op analoge grootheden om hieruit discrete grootheden af
te leiden.
Analoge grootheden moeten dus eerst gediscretiseerd worden, benaderd door discrete grootheden.
Discretisatie gebeurt op 2 manieren:
1. Discretiseren van de onafhankelijke veranderlijke t (x-as) (meestal tijd)
2. Kwantiseren van de afhankelijke veranderlijke u (y-as)
Enkel als de discretisatiestap Δt klein genoeg is, kunnen de analoge grootheden
verwerkt door een digitaal systeem met goede benadering dezelfde resultaten
opleveren dan wanneer we een analoog systeem zouden gebruiken.
De tweede discretisatiestap Δu is een gevolg van eindige nauwkeurigheid.
Meeste digitale systemen vereisen dat de tijd gediscretiseerd wordt.
Bij synchrone digitale systemen zal de tijd in discrete stappen verlopen waarbij een centrale
klok aangeeft aan welk tempo.
Fotografie bvb. was eerst een analoog fenomeen maar is nu een digitaal fenomeen. Er bestaat een
technologische trend die meer en meer analoge systemen vervangt door digitale systemen. Hiervoor
bestaan verschillende redenen:
- Eenvoudige opslag van informatie: Digitale systemen werken altijd met discrete grootheden
waardoor de nauwkeurigheid altijd constant is. Bij analoge systemen verandert de nauwkeurigheid
willekeurig waardoor de opslag van informatie moeilijker wordt. Vergelijk het met 5 knikkers
bijhouden en een handvol zand.
- Lagere ruisgevoeligheid: Digitale systemen zijn minder gevoelig voor toevallige
fluctuaties, ruis genoemd. Als er een fluctuatie optreed die kleiner is dan de
helft van de discretisatiestap, dan kunnen we steeds afronden naar de dichtst
toegelaten discrete waarde waardoor we de oorspronkelijke waarde herstellen.
Bij een analoge grootheid is dit niet het geval omdat we het verschil niet zien
tussen een analoge grootheid en een analoge grootheid + fluctuatie.
- Keuzevrijheid aangepaste nauwkeurigheid: Bij digitale systemen is het eenvoudig om discrete
grootheden met hoge nauwkeurigheid voor te stellen en te bewerken zoals ↑
Door de discrete voorstelling op te bouwen uit meerdere binaire grootheden kunnen we de
nauwkeurigheid eenvoudig uitbreiden. 2 grijswaarden volstaan niet? => 256 grijswaarden
Bij analoge systemen is de verhoging van de nauwkeurigheid niet mogelijk omdat de n. van de
analoge grootheden direct samenhangt met de n. van de fysische voorstelling van deze grootheden.
Vb. 10 metingen met een dure microfoon zullen meer op elkaar lijken dan met een goedkopere mic.
,- Groot dynamisch bereik: De verhouding van de grootste tot de kleinste waarde wordt makkelijker
geconstrueerd bij digitale systemen omdat analoge systemen opnieuw het moeilijker zullen hebben
door de nauwkeurigheid en zijn fysische voorstelling. De ondergrens bestaat uit toevallige fluctuaties
of ruis en de bovengrens is de fysische beperking (vb. werken boven 1000 volt is niet praktisch)
- Grote flexibiliteit: Digitale systemen kan je veel gemakkelijker aanpassen dan analoge systemen.
Vergelijk een fototoestel en je camera-app op je smartphone. Indien je de helderheid van je foto wil
veranderen kan je dat veel gemakkelijker via een programma veranderen dan analoog.
- Complexiteit digitale systemen: Complexe digitale systemen zijn eenvoudiger te ontwerpen dan
analoge systemen met dezelfde complexiteit omdat ze gemakkelijker modulaire bouwblokken
gebruiken die via goede interfaces met elkaar interageren. (Zie World Wide Web en The Internet of
Things)
Binaire grootheden = het verkeren in één van twee mutueel exclusieve toestanden 0 of 1.
Een 0 of 1 noemen we een bit
Codes met lengte N kunnen 2 N verschillende waarden voorstellen
2367 = 2 x 10³ + 3 x 10² + 6 x 101 + 7 x 100 Dit is een plaats gebaseerde getalvoorstelling
10 is het grondtal van het decimale getalstelsel
Bij de Romeinse getalvoorstelling is de positie van het getal onafhankelijk.
Voor digitale systemen is het grondtal 2 een nuttigere keuze
10011011 = 1 ×27 +0 ×26 +0 × 25+ 1× 24 +1× 23 +0 ×22 +1× 21+ 1× 20
In het decimale getalstelsel zou dit 155 zijn
Indien we een kommagetal met behulp van binaire getallen willen noteren dan kunnen we dit doen
op de volgende manier:
Indien we een decimaal getal willen vertalen naar het binair
equivalent moet je het getal telkens delen door 2 waarbij je de
rest moet bijhouden, dit herhaal je tot de deling gelijk aan nul is.
De ASCII code associeert een binaire code met een aantal veelgebruikte letters en leestekens. Zo is
de binaire code ‘01000001’ de hoofdletter ‘A’ binnen de ASCII code maar ook het decimaal getaal
‘65’. De binaire code is dus context afhankelijk omdat het getallen, tekens maar ook beelden en
muziekfragmenten kan bevatten.
Het inzicht van Shannon leidde de informatietheorie af die aan de basis ligt van alle moderne
digitale communicatiesystemen, i.e. een deelverzameling van de digitale systemen die als
doel hebben zo efficiënt en nauwkeurig mogelijk informatie tussen een zender en een
ontvanger uit te wisselen (met behulp van binaire grootheden).
,Hoofdstuk 2
Combinatorische Digitale Systemen
Combinatorische digitale systemen worden gekenmerkt door hun gebrek aan geheugen. Ze bezitten
geen tijdsdimensie en worden dus als ogenblikkelijk beschouwd. Je kan het vergelijken met een
functie vb. f(x) = x² die enkel afhangt van de waarde van het argument x en niet van de tijd.
In werkelijkheid is het onmogelijk om geheugenloze
De schakeltheorie
Definitie 2.1 Logische functies f(A1, A2, ..., An) zijn binaire functies van binaire of logische
grootheden. De veranderlijken Ai en functiewaarde f kunnen twee mogelijke waarden aannemen: de
logische 1 (TRUE genoemd in de informatica) en 0 (FALSE in de informatica).
De meest volledige beschrijving van een logische functie is de
opsomming van de waarden voor elke mogelijke combinatie
van ingangswaarden. Dit wordt de waarheidstabel genoemd.
(Complement)
(Gelijk aan 1 indien alles moet 1 zijn)
(Gelijk aan 0 indien alles 0 is)
(Indien één argument 1 is)
(Gelijk aan 0 indien alles 1 is)
(Gelijk aan 1 indien alles 0 is)
De wetten van Morgan :
Kan je bewijzen aan de hand van:
Definitie 2.2 Een Booleaanse algebra [B, +, ·,¯, 0, 1] wordt gedefinieerd als een verzameling B die twee
bijzondere elementen ’0’ en ’1’ bevat en waarop drie bewerkingen gedefinieerd zijn: de optelling, de
vermenigvuldiging en de inversie genoemd en respectievelijk voorgesteld door de bewerkingstekens:
+, · en ¯ zodat de volgende eigenschappen gelden voor alle keuzes van drie elementen x, y, z uit de
verzameling B:
x + y = y + x (1a)
x · y = y · x (1b)
(x + y) + z = x + (y + z) (2a)
(x · y) · z = x · (y · z) (2b)
x + (y · z)=(x + y) · (x + z) (3a)
x · (y + z) = x · y + x · z (3b)
x +0= x (4a)
x · 1 = x (4b)
x + x = 1 (5a)
x · x = 0 (5b)
, Definitie 2.3 Een Booleaanse uitdrukking in n variabelen A 1, A2, ··· , An is elke eindige reeks van
symbolen die kan gevormd worden door het toepassen van de volgende regels:
1. A1, A2, ··· , An zijn Booleaanse uitdrukkingen
2. Als A en B Booleaanse uitdrukkingen zijn, dan zijn ook (A + B), (A · B) en ( A ) Booleaanse
uitdrukkingen
Dit is een recursieve definitie: sommige functies herhalen zich. We kunnen bijvoorbeeld
De waarheidstabellen voor beide uitdrukkingen is dus hetzelfde
= Gelijkwaardige Booleaanse uitdrukkingen
Theorema 2.1 Elke logische functie f(A1, A2, ··· , An) kan uitgedrukt worden als een standaard som van
producten.
Bewijs: Beschouw de expliciete definitie van de functiewaarde voor elke combinatie van
ingangsvariabelen Ai zoals weergegeven in de waarheidstabel. Construeer vervolgens voor elke
ingangscombinatie waarvoor de functie 1 is een term, die bestaat uit het logisch product van alle
ingangsvariabelen, en waarbij de variabelen die 0 zijn in de combinatie geïnverteerd worden. Deze
term zal steeds 1 zijn indien die combinatie van ingangsvariabelen optreedt. De uiteindelijke functie is
nu gelijk aan de logische optelling van deze termen.
De termen in de resulterende Booleaanse uitdrukking worden mintermen genoemd,
en de voorstelling een SOP (Sum Of Products). Op deze waarheidstabel krijgen we dan:
Elke logische functie kan gerealiseerd worden gebruik makend van AND, OR en NOT
poorten
Meestal kan ook de SOP uitdrukking vereenvoudigd worden:
De sleutel tot succes is om telkens mintermen te nemen die slechts in één factor
verschillen. Dit basisidee wordt in verschillende automatische
vereenvoudigingsprocedures gebruik gemaakt. Dit is niet enkel van theoretisch belang
maar ook van groot praktisch nut voor efficiënte implementatie van digitale systemen.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper StudentUA8. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,59. Je zit daarna nergens aan vast.
