Samenvatting wiskunde B
1. Didactische krachtlijnen
1.1. Betekenisvolle situaties
Verloop van een wiskundig denkproces:
Analyseren
Situatie wiskundig model opbouwen/ kiezen
Interpreteren wiskundige technieken toepassen
Kinderen moeten het verband leren zien tussen het leergebied wiskunde en de realiteit waaruit de
wiskunde groeit en waarop ze van toepassing is. de situatie ‘verwiskundigen’
- De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist te kunnen oplossen.
- Het betrekken van de leefwereld van leerlingen in de lessen kan de motivatie van leerlingen
verhogen.
- De leerlingen leren een probleem te analyseren door levensechte situaties te vertalen naar
wiskundeproblemen.
- Door betekenisvolle situaties: laat je leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van
wiskunde ontdekken
Betekenisvolle situaties aanbieden om: inzicht te verwerven in een wiskundig begrip, bij het
inoefenen als verwerking van een leerinhoud en bij de evaluatie/afsluiting ervan
1.2. Concreet – schematisch – abstract (CSA-model)
• Concrete fase: vertrekken vanuit concrete voorbeelden en materialen, een aanschouwelijke
voorstelling is een hulpmiddel en herkenbaar mogelijk. Geleidelijk aan vervang je die door
meer gestructureerde voorwerpen.
• Schematische fase: tekenen, schematisch voorstellen… er is nog een verwijzing naar het
concrete. Bv een tabel.
• Abstracte fase: je werkt zonder hulpmiddelen om de leerinhoud volledig abstract te
benaderen. In deze fase maak je gebruik van symbolen, tekens en getallen.
1.2.1. Concrete fase
Concreet: materialen, tastbare voorwerpen. Je kunt dit materiaal manipuleren (= sorteren,
verplaatsen, ontdekken…) en schakelt zo veel mogelijk zintuigen in (=multisensoriële waarneming). In
deze fase handelen leerlingen met concreet ongestructureerd en/ of gestructureerd materiaal.
• Het materiaal bestaat uit natura:
verschillende materialen en voorbeelden kiezen, zodat de geleerde inhoud niet enkel van
toepassing is op de getoonde voorbeelden/ voorwerpen
• Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:
je benadrukt het hoeveelheidsaspect, niet het uitzicht van het voorwerp
• Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
bv. het MAB-materiaal -> speciaal ontworpen om inzicht verwerven specifieke leerinhouden
1
, 1.2.2. Schematische fase
Werkelijkheid voorstellen door middel van tekeningen, schema’s en stappenplannen
→ ondersteunen het denkproces en het inzicht
Voorbeelden van schematische voorstellingen:
- Getallenlijn/ getallenas
- Tabellen en/ of schema’s
- Positietabel
- Een vierhoek (bv een parallellogram)
!! Een tekening die je als illustratie, in de zin van ‘opfleuring’ gebruikt, is GEEN schematische
ondersteuning. !!
Het honderdveld= een vierkant waarbij getallen van 1 tot en met 100 gepresenteerd staan in het
raster.
Bij elke sprong naar recht -> er komt een eenheid bij
Bij elke sprong naar onderen -> er komt een tiental bij
- Hoe groter de hoeveelheid, hoe lager dat getal in het honderdveld (→ tegennatuurlijk)
- De nul wordt niet afgebeeld. Als we die boven ‘10’ zouden afbeelden dan is de sprong van 0
naar 1 (+ 1) veel groter dan die van 1 naar 11 (+ 10) (→ niet logisch)
Beter zou zijn: hokjesgetallenlijn doorknippen na elk rond tiental. Zo heb je een lineaire structuur
➔ Het honderdveld is een middel om de structuur, de opbouw in getallen te ontdekken met de
nadruk op de verticale (opeenvolging van 1 tot 10, eenheden) en horizontale (tientallen)
rangorde.
1.2.3. Abstracte fase
Abstract werken= werken zonder concreet materiaal of zonder een schematische voorstelling.
Triplecodemodel:
Transfer van C en S naar A zo
bevorderen
1.2.4. Aandachtspunten
Als een kind een oefening niet kan uitleggen -> vraag je om de oefening te tekenen of met concreet
materiaal te leggen.
→ proces van differentiëren en remediëren is een belangrijk aandachtspunt voor elke leerkracht.
- Een kaartje met het symbool ‘H’ → abstracte voorstelling voor honderd
De kaarten ordenen van ‘H, T, E’ → schematische ondersteuning
- 6 bollen op een dobbelsteen → schematisch afgebeeld
2
, 1.3. Handelingsniveau van Galperin
Als leerling ZELF kunnen handelen met materiaal of tekeningen maken bij het inzichtelijk verwerven
van een begrip.
4 handelingsniveaus: materieel – perceptueel – verbaal – mentaal
→ bij elk handelingsniveau is VERWOORDEN belangrijk
1.3.1. Materieel handelen (doen, tekenen, spreken)
= leerlingen handelen met concreet materiaal en ze verwoorden onmiddellijk wat ze doen
Materiaal handelen doe je met concreet materiaal en later ook met schematisch materiaal.
‘handelen op gematerialiseerd niveau’= het werken met afbeeldingen, modellen, schema’s waarin
wiskundige kenmerken zijn weergegeven.
1.3.2. Perceptueel handelen (kijken, spreken)
= de leerlingen handelen nu enkel via waarneming (de perceptie).
- Materialen of voorstellingen (concreet of schematisch) gebruiken ze alleen om naar te
kijken= ‘kijk-handelingen’
- Je kunt het materiaal wel nog manipuleren (demonstratie) terwijl de leerlingen ernaar kijken
- Een bordschema voorzien waarop je de kijkhandeling schematisch ondersteunt
- Verwoording van het denkproces van de leerling ondersteunen
1.3.3. Verbaal handelen (spreken)
= lln zegt luidop hoe hij redeneert, zonder concrete voorwerpen of voorstellingen te gebruiken
(je vraagt dus aan de leerlingen om te verwoorden hoe ze de oefening opgelost hebben)
1.3.4. Mentaal handelen (denken)
= de leerling maakt het denkwerk nu volledig in zijn hoofd. Er is geen sprake meer van hoorbare
verwoording of van een voorstelling
1.4. Inzichtelijke aanpak
Het is belangrijk om inzichtelijk te werk te gaan in plaats van regels aan te leren als een feitelijk
gegeven of als een ‘trucje’.
Een inzichtelijke aanpak= de leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip zelf en alle
deelhandelingen in de redenering.
Een nieuw begrip of nieuwe vaardigheid aanbrengen, ‘kader’ je best even in de leerlijn:
- Zo activeer je de voorkennis van de leerlingen.
- Het wordt vlugger verbonden met de reeds opgedane kennis en makkelijker ‘verankerd’.
- Zo herhaal je de voorkennis en bevorder je de transfer
Visueel voorstellen zodat leerlingen verschillende ‘kanalen’ aangeboden krijgen
1.5. Belang correct wiskundig verwoorden
De verwoordingen zorgen voor een brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken
zonder materiaal.
- Overschakelen van ‘spreektaal’ naar ‘vaktaal’
Maak voldoende tijd voor rekengesprekken
3
, 1.6. Automatiseren – memoriseren
-> inhouden paraat kennen en niet meer aan de strategie denken
1.7. Inductief werken
= werken van het bijzondere naar het algemene
Je vertrekt vanuit concrete voorbeelden. Deze voorbeelden onderzoek en analyseer je samen met de
leerlingen, zo dat ze patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. Van daaruit kun je een
algemeen begrip, een algemene regel of principe omschrijven. Die pas je dan toe in verschillende
nieuwe contexten.
- De keuze van voorbeelden is heel belangrijk
- Inductief werken is beter dan deductief werken
Deductief werken= je vertrekt van de regel en je gaat hierop oefeningen maken. Je geeft het als een
wetmatigheid en door veel oefeningen probeer je de regel erin te krijgen.
1.8. Gebruik van verhoudingstabellen
Een verhoudingstabel gebruik je wanneer je de hoeveelheid in een grootheid
vergelijkt met de hoeveelheid in een andere grootheid, en je daarmee wilt rekenen.
- Grootheden en eenheden benoemen in de tabel
- Grootheden altijd benoemen in een aparte kolom of rij (eenheden hangt af
van de situatie)
- Herleidingen noteren en daarvoor plaats maken
- Chronologie is belangrijk
- De betekenis met de leerlingen inoefenen
2. Getallenkennis
2.1. Functies van getallen
• Eenzelfde getal gebruikt in verschillende contexten → krijgt iedere keer andere betekenis
• Lln moeten getallen kunnen plaatsen in juiste context
• Vaak iets abstract voor lln
o Vaak herhalen voor lln
o Herhalen op specifieke lesmomenten & wanner gelegenheid zich voortdoet
• Voorbeeld: oefening in werkboek: plaats getallen uit het tekstje in juiste kolom
o Boek p290
• 3 aandachtspunten om leerinhoud goed onder knie krijgen
o Begripsvorming
▪ Functies van getallen met hun juiste benaming verwoorden &(laten)
uitleggen in eigen woorden
4
1. Didactische krachtlijnen
1.1. Betekenisvolle situaties
Verloop van een wiskundig denkproces:
Analyseren
Situatie wiskundig model opbouwen/ kiezen
Interpreteren wiskundige technieken toepassen
Kinderen moeten het verband leren zien tussen het leergebied wiskunde en de realiteit waaruit de
wiskunde groeit en waarop ze van toepassing is. de situatie ‘verwiskundigen’
- De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist te kunnen oplossen.
- Het betrekken van de leefwereld van leerlingen in de lessen kan de motivatie van leerlingen
verhogen.
- De leerlingen leren een probleem te analyseren door levensechte situaties te vertalen naar
wiskundeproblemen.
- Door betekenisvolle situaties: laat je leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van
wiskunde ontdekken
Betekenisvolle situaties aanbieden om: inzicht te verwerven in een wiskundig begrip, bij het
inoefenen als verwerking van een leerinhoud en bij de evaluatie/afsluiting ervan
1.2. Concreet – schematisch – abstract (CSA-model)
• Concrete fase: vertrekken vanuit concrete voorbeelden en materialen, een aanschouwelijke
voorstelling is een hulpmiddel en herkenbaar mogelijk. Geleidelijk aan vervang je die door
meer gestructureerde voorwerpen.
• Schematische fase: tekenen, schematisch voorstellen… er is nog een verwijzing naar het
concrete. Bv een tabel.
• Abstracte fase: je werkt zonder hulpmiddelen om de leerinhoud volledig abstract te
benaderen. In deze fase maak je gebruik van symbolen, tekens en getallen.
1.2.1. Concrete fase
Concreet: materialen, tastbare voorwerpen. Je kunt dit materiaal manipuleren (= sorteren,
verplaatsen, ontdekken…) en schakelt zo veel mogelijk zintuigen in (=multisensoriële waarneming). In
deze fase handelen leerlingen met concreet ongestructureerd en/ of gestructureerd materiaal.
• Het materiaal bestaat uit natura:
verschillende materialen en voorbeelden kiezen, zodat de geleerde inhoud niet enkel van
toepassing is op de getoonde voorbeelden/ voorwerpen
• Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid:
je benadrukt het hoeveelheidsaspect, niet het uitzicht van het voorwerp
• Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
bv. het MAB-materiaal -> speciaal ontworpen om inzicht verwerven specifieke leerinhouden
1
, 1.2.2. Schematische fase
Werkelijkheid voorstellen door middel van tekeningen, schema’s en stappenplannen
→ ondersteunen het denkproces en het inzicht
Voorbeelden van schematische voorstellingen:
- Getallenlijn/ getallenas
- Tabellen en/ of schema’s
- Positietabel
- Een vierhoek (bv een parallellogram)
!! Een tekening die je als illustratie, in de zin van ‘opfleuring’ gebruikt, is GEEN schematische
ondersteuning. !!
Het honderdveld= een vierkant waarbij getallen van 1 tot en met 100 gepresenteerd staan in het
raster.
Bij elke sprong naar recht -> er komt een eenheid bij
Bij elke sprong naar onderen -> er komt een tiental bij
- Hoe groter de hoeveelheid, hoe lager dat getal in het honderdveld (→ tegennatuurlijk)
- De nul wordt niet afgebeeld. Als we die boven ‘10’ zouden afbeelden dan is de sprong van 0
naar 1 (+ 1) veel groter dan die van 1 naar 11 (+ 10) (→ niet logisch)
Beter zou zijn: hokjesgetallenlijn doorknippen na elk rond tiental. Zo heb je een lineaire structuur
➔ Het honderdveld is een middel om de structuur, de opbouw in getallen te ontdekken met de
nadruk op de verticale (opeenvolging van 1 tot 10, eenheden) en horizontale (tientallen)
rangorde.
1.2.3. Abstracte fase
Abstract werken= werken zonder concreet materiaal of zonder een schematische voorstelling.
Triplecodemodel:
Transfer van C en S naar A zo
bevorderen
1.2.4. Aandachtspunten
Als een kind een oefening niet kan uitleggen -> vraag je om de oefening te tekenen of met concreet
materiaal te leggen.
→ proces van differentiëren en remediëren is een belangrijk aandachtspunt voor elke leerkracht.
- Een kaartje met het symbool ‘H’ → abstracte voorstelling voor honderd
De kaarten ordenen van ‘H, T, E’ → schematische ondersteuning
- 6 bollen op een dobbelsteen → schematisch afgebeeld
2
, 1.3. Handelingsniveau van Galperin
Als leerling ZELF kunnen handelen met materiaal of tekeningen maken bij het inzichtelijk verwerven
van een begrip.
4 handelingsniveaus: materieel – perceptueel – verbaal – mentaal
→ bij elk handelingsniveau is VERWOORDEN belangrijk
1.3.1. Materieel handelen (doen, tekenen, spreken)
= leerlingen handelen met concreet materiaal en ze verwoorden onmiddellijk wat ze doen
Materiaal handelen doe je met concreet materiaal en later ook met schematisch materiaal.
‘handelen op gematerialiseerd niveau’= het werken met afbeeldingen, modellen, schema’s waarin
wiskundige kenmerken zijn weergegeven.
1.3.2. Perceptueel handelen (kijken, spreken)
= de leerlingen handelen nu enkel via waarneming (de perceptie).
- Materialen of voorstellingen (concreet of schematisch) gebruiken ze alleen om naar te
kijken= ‘kijk-handelingen’
- Je kunt het materiaal wel nog manipuleren (demonstratie) terwijl de leerlingen ernaar kijken
- Een bordschema voorzien waarop je de kijkhandeling schematisch ondersteunt
- Verwoording van het denkproces van de leerling ondersteunen
1.3.3. Verbaal handelen (spreken)
= lln zegt luidop hoe hij redeneert, zonder concrete voorwerpen of voorstellingen te gebruiken
(je vraagt dus aan de leerlingen om te verwoorden hoe ze de oefening opgelost hebben)
1.3.4. Mentaal handelen (denken)
= de leerling maakt het denkwerk nu volledig in zijn hoofd. Er is geen sprake meer van hoorbare
verwoording of van een voorstelling
1.4. Inzichtelijke aanpak
Het is belangrijk om inzichtelijk te werk te gaan in plaats van regels aan te leren als een feitelijk
gegeven of als een ‘trucje’.
Een inzichtelijke aanpak= de leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip zelf en alle
deelhandelingen in de redenering.
Een nieuw begrip of nieuwe vaardigheid aanbrengen, ‘kader’ je best even in de leerlijn:
- Zo activeer je de voorkennis van de leerlingen.
- Het wordt vlugger verbonden met de reeds opgedane kennis en makkelijker ‘verankerd’.
- Zo herhaal je de voorkennis en bevorder je de transfer
Visueel voorstellen zodat leerlingen verschillende ‘kanalen’ aangeboden krijgen
1.5. Belang correct wiskundig verwoorden
De verwoordingen zorgen voor een brug tussen het manipuleren met materiaal en het werken
zonder materiaal.
- Overschakelen van ‘spreektaal’ naar ‘vaktaal’
Maak voldoende tijd voor rekengesprekken
3
, 1.6. Automatiseren – memoriseren
-> inhouden paraat kennen en niet meer aan de strategie denken
1.7. Inductief werken
= werken van het bijzondere naar het algemene
Je vertrekt vanuit concrete voorbeelden. Deze voorbeelden onderzoek en analyseer je samen met de
leerlingen, zo dat ze patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. Van daaruit kun je een
algemeen begrip, een algemene regel of principe omschrijven. Die pas je dan toe in verschillende
nieuwe contexten.
- De keuze van voorbeelden is heel belangrijk
- Inductief werken is beter dan deductief werken
Deductief werken= je vertrekt van de regel en je gaat hierop oefeningen maken. Je geeft het als een
wetmatigheid en door veel oefeningen probeer je de regel erin te krijgen.
1.8. Gebruik van verhoudingstabellen
Een verhoudingstabel gebruik je wanneer je de hoeveelheid in een grootheid
vergelijkt met de hoeveelheid in een andere grootheid, en je daarmee wilt rekenen.
- Grootheden en eenheden benoemen in de tabel
- Grootheden altijd benoemen in een aparte kolom of rij (eenheden hangt af
van de situatie)
- Herleidingen noteren en daarvoor plaats maken
- Chronologie is belangrijk
- De betekenis met de leerlingen inoefenen
2. Getallenkennis
2.1. Functies van getallen
• Eenzelfde getal gebruikt in verschillende contexten → krijgt iedere keer andere betekenis
• Lln moeten getallen kunnen plaatsen in juiste context
• Vaak iets abstract voor lln
o Vaak herhalen voor lln
o Herhalen op specifieke lesmomenten & wanner gelegenheid zich voortdoet
• Voorbeeld: oefening in werkboek: plaats getallen uit het tekstje in juiste kolom
o Boek p290
• 3 aandachtspunten om leerinhoud goed onder knie krijgen
o Begripsvorming
▪ Functies van getallen met hun juiste benaming verwoorden &(laten)
uitleggen in eigen woorden
4
