100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na betaling Zowel online als in PDF Je zit nergens aan vast
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen €9,99   In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  4.  
  5. Computerwetenschappen
  6.  
  7. Wetenschappelijk Rekenen

Samenvatting

Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen

1 beoordeling
 238 keer bekeken  9 keer verkocht
  • Vak
  • Wetenschappelijk Rekenen
  • Instelling
  • Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  • Boek
  • Inleiding tot de numerieke wiskunde

Dit is een samenvatting voor het vak Wetenschappelijk rekenen. In deze samenvatting werd alle info uit de slides en eventuele extra informatie uit de hoorcolleges opgenomen. Opmerkingen: Hoofdstuk 1 dient enkel als opfrissing van enkele concepten en werd dus niet in deze samenvatting opgenomen. ...

[Meer zien]
Laatste update van het document: 2 jaar geleden

Voorbeeld 4 van de 57  pagina's

Document informatie

  • Nee
  • Onbekend
  • 9 juni 2022
  • 9 juni 2022
  • 57
  • 2021/2022
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • foutenanalyse
  • computeraritmetiek
  • machineprecisie
  • numerieke stabiliteit
  • conditionering
  • lu decompositie
  • qr ontbinding
  • eigenwaarden
  • eigenvectoren
  • lineaire stelsels oplossen
  • gram schmidt orthogonalisatie

Gekoppeld boek

book image

Titel boek:

Auteur(s):

  • Uitgave:
  • ISBN:
  • Druk:

Geschreven voor

  • Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  • Computerwetenschappen
  • Wetenschappelijk Rekenen
Alle documenten voor dit vak (7)

1  beoordeling

review-writer-avatar

Door: mohammedshabot • 1 jaar geleden

Goed, duidelijk gestructureerde samenvatting

Verkoper

avatar-seller
lennyS

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen
Contents
Hoofdstuk 2: Foutenanalyse ......................................................................................................... 3
Inleidend voorbeeld ............................................................................................................................ 3
Fouttypes ............................................................................................................................................ 4
Getalvoorstelling ................................................................................................................................. 4
Relatieve en absolute fout .................................................................................................................. 5
IEEE floating point standaard .............................................................................................................. 5
Voorwaartse foutenanalyse ................................................................................................................ 6
Elementaire bewerkingen ................................................................................................................... 6
Voorbeeld........................................................................................................................................ 6
Kahan Som .......................................................................................................................................... 7
Voorbeeld........................................................................................................................................ 8
Stelling van Sterbenz........................................................................................................................... 8
Numerieke stabiliteit .......................................................................................................................... 9
Voorbeeld........................................................................................................................................ 9
Conditionering .................................................................................................................................... 9
Zwak stabiel ...................................................................................................................................... 10
Voorbeeld...................................................................................................................................... 10
Stabilisatie ......................................................................................................................................... 10
Hoofdstuk 3: Stelsels van lineaire vergelijkingen ......................................................................... 11
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 11
Doelstelling ....................................................................................................................................... 11
Onder- en bovendriehoekstelsels ..................................................................................................... 11
Achterwaartse substitutie voor het stelsel Uy = c ............................................................................ 11
Gauss eliminatie ................................................................................................................................ 12
Analyse .......................................................................................................................................... 13
Stabiliteit ....................................................................................................................................... 13
Pivotering ...................................................................................................................................... 14
LU-decompositie ............................................................................................................................... 14
Algoritme Crout-Doolittle ................................................................................................................. 15
Oplossing van een stelsel .................................................................................................................. 16
Hoofdstuk 4: QR-ontbinding, eigenwaarden en eigenvectoren .................................................... 16
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 16


1
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, QR-decompositie .............................................................................................................................. 17
Algoritme ...................................................................................................................................... 17
Analyse .......................................................................................................................................... 19
Berekening eigenwaarden en eigenvectoren ................................................................................... 19
Hoofdstuk 5: Oplossen van niet-lineaire vergelijkingen ............................................................... 20
Banachs dekpunt iteraties ................................................................................................................ 21
Steffensens iteraties ......................................................................................................................... 21
Newtons methode ............................................................................................................................ 23
Gedempte methoden ....................................................................................................................... 23
Oplossen van niet-lineaire stelsels.................................................................................................... 23
Hoofdstuk 6: Numerieke integratie............................................................................................. 23
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 23
Trapeziumregel ................................................................................................................................. 23
Simpsonregel..................................................................................................................................... 24
Newton-Cotes formules .................................................................................................................... 24
Stabiliteit ....................................................................................................................................... 25
Samengestelde integratie ................................................................................................................. 26
Samengestelde trapeziumregel .................................................................................................... 26
Samengestelde Simpsonregel ....................................................................................................... 27
Romberg integratie(driehoek) .......................................................................................................... 27
Hoofdstuk 7: Veelterminterpolatie ............................................................................................. 28
Wat is interpolatie?........................................................................................................................... 28
Veelterminterpolatie ........................................................................................................................ 28
Voorbeeld...................................................................................................................................... 29
Conditionering .............................................................................................................................. 29
Hermite interpolatie ......................................................................................................................... 30
Voorbeeld...................................................................................................................................... 30
Lineaire stuksgewijze interpolatie .................................................................................................... 30
Conditionering .............................................................................................................................. 30
Voor- en nadelen .......................................................................................................................... 31
Cubic spline ....................................................................................................................................... 32
Basisfuncties ..................................................................................................................................... 33
Hoofdstuk 8: Lineair programmeren ........................................................................................... 34
Probleemstelling in standaardvorm.................................................................................................. 34
Eerste primale vorm (primal form) ............................................................................................... 34
Conversie....................................................................................................................................... 35

2
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, Tweede primale vorm (slack form) ............................................................................................... 35
Simplex methode .............................................................................................................................. 36
Pivoting ............................................................................................................................................. 37
Tableau.............................................................................................................................................. 37
(Mixed) integer programming........................................................................................................... 39
Branch-and-bound ............................................................................................................................ 40
Cutting planes ................................................................................................................................... 42
Gomory cut ....................................................................................................................................... 42
Dualiteit............................................................................................................................................. 42
Hoofdstuk 9: Markov-chain Monte Carlo methodes .................................................................... 43
Monte Carlo methodes ..................................................................................................................... 43
Pseudo-random getallen................................................................................................................... 43
Lineaire-congruentiegeneratoren..................................................................................................... 43
Random getallen uit andere verdelingen ......................................................................................... 44
Inverse transform.......................................................................................................................... 44
Accept-reject sampling ................................................................................................................. 45
Ad-hoc methodes (vb. Box-Muller) ............................................................................................... 45
Monte Carlo integratie.................................................................................................................. 45
Variantie ........................................................................................................................................ 45
Markov-chain Monte Carlo ............................................................................................................... 46
Motivatie: Bayesiaanse data analyse / ML ................................................................................... 46
Markov chains ............................................................................................................................... 46
Metropolis-Hastings .......................................................................................................................... 47



Hoofdstuk 2: Foutenanalyse
Inleidend voorbeeld
Wiskundig equivalente voorstellingen → numeriek niet equivalent.

Voorbeeld:
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥(√𝑥 + 1 − √𝑥) 𝑚𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0
√𝑥 + 1 + √𝑥
• Equivalente voorstellingen → nu gebruiken op rekentoestel met 4 decimale cijfers voor x =
500

𝑓(500) = 500(22,3830 − 22,3607) = 500 ∗ 0,0223 = 11.1500
500 500
𝑔(500) = = = 11,1748
22,3830 − 22,3607 44,7437


3
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, • Welke uitdrukking correcter?
o Functies nu evalueren met 1 decimaal nauwkeuriger
o We merken dat f maar een decimaal nauwkeurig gaf terwijl g tot op drie decimalen
nauwkeurig was
▪ We noemen g daarom numeriek stabieler.

Fouttypes
In de numerieke wiskunde onderscheiden we 4 fouttypes:

• Invoerfouten: De numerieke methode wordt toegepast op een foutieve invoer. Dit kan zijn
door ruis of statistische fouten.
• Onvermijdelijke fout: Dit zijn fouten die verschijnen door de uitgevoerde bewerkingen.
• Methodefout: Dit zijn fouten door benaderingen in de numerieke methode zelf. (H5 en H6)
• Afrondfout: Dit zijn fouten door de numerieke voorstelling van de getallen.

Inleidend voorbeeld 2 fouttypes:

• Afrondfout: verschil tussen 4 en 5 decimalen nauwkeurigheid
• Onvermijdelijke fout: De onvermijdelijke fout bij de tweede methode is kleiner. Merk op dat
dit niets te maken heeft met de afrondfout of de precisie van de getalvoorstelling.

Komen vaak samen voor: ontknoping leidt tot begrippen conditionering en numerieke stabiliteit (zie
later)

Getalvoorstelling
Begrippen:

Laat 𝑥 ∈ ℝ dan wordt dit getal numeriek voorgesteld door een floating point of een zwevende
kommavoorstelling als:

𝑓𝑙(𝑥) = ±𝑖0 , 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑝 ∗ 𝑏 𝑒

We kunnen zeggen dat fl(x) x projecteert op de dichtstbijzijnde floating point voorstelling. Hier bij is
𝑖𝑘 ∈ {0,1,2, , … ,9} met 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑝}. Opdat deze voorstelling uniek is mag 𝑖0 ≠ 0.

We noemen 𝑖0 , 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑝 de mantisse, b de getalbasis, e de exponent en p de precisie.

Afspraak: De volledige mantisse wordt weergegeven, behalve indien 𝑏 = 2. In dit geval is impliciet
𝑖0 = 1.
1. Beschouw een systeem in basis 10 met een mantisse van precisie 6




Het volgende voorbeeld kan niet exact worden voorgesteld in dit systeem:



Dit getal heeft een precisie nodig van 11. De moeilijkheid van getalvoorstellingen is niet de grootte
van de getallen maar de lengte van de mantisse.




4
Samenvatting WR - Lennert Saerens

Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!

Snel en makkelijk kopen

Snel en makkelijk kopen

Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lennyS. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €9,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 66579 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
€9,99  9x  verkocht
  • (1)
  Kopen