Aangezien wiskunde een zeer moeilijk vak was om te studeren, had ik nood aan een extra overzicht van de theorie. In het bestand vind je de te kennen theorie terug maar dan met stappenplannen en voorbeelden om de leerstof beter te begrijpen en toe te kunnen passen!
Als student die 2 uur wiskunde ...
Normaal plaats ik geen reviews maar dit bestand heeft ervoor gezorgd dat ik het examen heel goed ging!
Door: RobbeSchoenmaker • 1 jaar geleden
De stappenplannen maakten al de moeilijke leerstof ineens een pak duidelijker! Het heeft me heel veel geholpen waardoor ik zelf ben geslaagd! Bedankt!
Door: ArnoW • 2 jaar geleden
Een heel overzichtelijke samenvatting van de theorie en oefeningen! De zelfgemaakte stappenplannen helpen om de oplossing gestructureerd op te kunnen lossen! De stappenplannen en voorbeelden maakt alles plots veel makkelijker!
Verkoper
Volgen
studentmodeltraject
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
!!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
REËLE FUNCTIES VAN EEN VERANDERLIJKE (H1)
Kernbegrippen i.v.m functie’s
DEF Expliciet/ impliciet
Men spreekt v/e expliciete voorstelling van de Men spreekt v/e impliciete voorstelling van de
functie f : ℝ->ℝ, wnr voorschrift geëxpliceerd functie f : ℝ->ℝ, wanneer het voorschrift
is naar de afhank. veranderlijke, m.a.w. y = f(x) impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y) = 0
DEF Symmetrieën
Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een even Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een oneven
functie, indien voor elke waarde x uit het functie, indien voor elke waarde x uit het domein
domein geldt: f(−x) = f(x) geldt: f(−x) = −f(x)
-> grafisch: symmetrisch t.o.v de y-as -> grafisch: symmetrisch t.o.v de oorsprong
Stappenplan:
1) Test: vervang alle x-waarden door -x
2) Gaan alle “-“ worden weggewerkt?
-ja: even functie (opl is f(−x) = f(x))
-nee: oneven functie (opl is f(−x) = -f(x))
DEF Inverse functie
Stappenplan:
Een functie f-1 : ℝ->ℝ : x-> f-1(x) is de inverse 1) Herschrijf het voorschrift y=f(x) tot een vorm
functie van f : ℝ->ℝ : x->f(x), indien voor elke x= een functie van y
waarde x uit het domein van f geldt: 2) Controleer of het domein beperkt moet
f(x) = y <=> f-1(y) = x worden
2.1) indien nodig, voorschrift opnieuw
Merk op oef: domein en bereik omwisselen herschrijven zodat het beperkt wordt
-> grafisch: gespiegeld t.o.v de 1ste bissectrice 3) Wissel x en y om
DEF Samenstellen van functies
Stappenplan:
Een reële functie h : ℝ->ℝ : x->h(x) is een 1) Neem functie voorschrift v/d 1ste komende (f)
samenstelling van functies g : ℝ->ℝ : x->g(x) als argument bij de 2de (g)
“na” f : ℝ->ℝ : x->f(x), of H = g o f 2) Neem de functie v/d 2de en pas argument toe
Limietwaarde -> kijk werkcollege 3! En schema achteraan!
DEF Limiet
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) bereikt in het lim f ( x )=L -> “de limiet van f voor x gaande naar a”
x→ a
punt x = a de limietwaarde L, of
lim f ( x )=L
x→ a Limiet is “naderen tot een bepaald punt en zien
Als de functiewaarden f(x) willekeurig dichter wat het beeld doet” -> bestaat alleen als linker-
bij L komen als punten x dichter naar a gaat. en rechterlimiet hetzelfde zijn!
Linkerlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x kleiner dan a dichter naar a gaat
Rechterlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x groter dan a dichter naar a gaat
Limieten oneigenlijke: Als f(x) oneindig stijgt of daalt als x dichter naar a gaat (oplos. is: L=+∞/+∞)
Theorie + stappenplan + voorbeelden 1
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
HA = limiet naar oneindig -> getal oplevert / VA = limiet naar getal -> oneindig oplevert
Rekenen met oneindigheden
Bepaalde vormen: Onbepaalde vormen:
+∞ ± C = +∞ -∞ ± C = -∞
+∞ . a = +∞ als a>0 -∞ . a = -∞ als a>0 0 ∞
+∞ . a = -∞ als a<0 -∞ . a = +∞ als 0
&
∞
, +∞ - ∞, 0. ∞
a<0
+∞.+∞ = +∞ | -∞.-∞ = +∞ | +∞.-∞ = -
∞
Continuïteit
DEF Continuïteit in een punt
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is continu in een Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet
punt x = a als lim f ( x )=f (a). bestaan, of indien ze verschillend zijn, noemt
x→ a men de functie discontinu in het betreffend punt.
-> indien discontinu is de 2de vraag op exame:
is de functie continu op het domein? (HC)
Belangerijke functies
DEF Veeltermfuncties
Veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele
f : ℝ->ℝ : x->f(x) = anxn + an-1 xn-1 +…+a1x +a0 reële as en is continu ->notatie: domein ℝ
met n ∈ ℕ en met a0 , a1 ,…, an-1, an ∈ℝ en an≠0
DEF Lineaire functie (een veeltermfunctie van graad 1)
Lineaire functie heeft voorschrift f : De waarde m is de richtingcoëfficiënt of helling
ℝ->ℝ : x->f(x) = mx + q. van de functie, de waarde q bepaalt het snijpunt
Grafisch: een rechte van de beeldlijn van de functie met de y-as.
DEF Kwadratische functie = parabool (een veeltermfunctie van graad 2)
Elke vergelijking van de vorm y =ax2 + bx + c De top v/d parabool heeft coördinaten (x 0, y0)
(met a ∈ ℝ0 , b ∈ ℝ , c ∈ ℝ ) is een parabool. −b
met x0 = ; y0 is dan de functiewaarde van x0.
2. a
Grafisch: de symmetrie-as is evenwijdig aan
de y-as en heeft vergelijking x = x0. De parabool heeft de holle zijde naar boven
indien a > 0, naar beneden indien a < 0
DEF Rationale functies (2 veeltermfuncties in breuk)
Een rationale functie heeft voorschrift f : Het domein van een rationele functie is de ℝ
ℝ->ℝ : x->f(x)= verminderd met de waarde waarvoor de noemer
n n−1
an x + an−1 x +…+ a1 x +a 0 nul wordt. Een rationale functie is continu op
m m−1 haar domein. -> notatie: domein ℝ¿ {…¿}
bm x + bm−1 x + …+b1 x+b 0
met n ∈ ℕ en met a0,a1…,an,b0,b1…bm ∈ ℝ
Theorie + stappenplan + voorbeelden 2
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
DEF Irrationale functies (veeltermfunctie onder een wortel)
Een irrationale functie heeft een voorschrift Het domein v/e irrationale functie is beperkt tot
waarin 1 of meer wortelvormen voorkomen. dat deel v/d reële as waarvoor het argument
onder de wortel het juiste teken bezit (≥0).
-> notatie: domein f = ¿−∞ , …¿ ¿ ∪ ¿
DEF De cirkel
De impliciete vergelijking beschrijft een cirkel Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten
(x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 (x0, y0) (-> let op: intrepretatie + en – in formule)
En de straal is r dus √ r 2
+¿ ¿
met x0 en y0 ∈ ℝ en r2 ∈ R0 En domein is altijd = [( x0 −r ),( x0 +r )]
DEF Expontentiële functies (machten)
Exponentiële functie heeft voorschrift: expa is een strikt stijgende functie indien a>1 en
+¿ ¿
expa: ℝ-> R0 : x-> expa = ax een strikt dalende functie indien a<1
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } Als a<1: functie met x-as als HA aan rechterkant
+¿ ¿
(ℝ-> R0 dus oplossing altijd positief) en als a>1: functie met x-as als HA aan linkerkant
Specifiek: natuurlijke expontentiële functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie exp(x) = ex -> verloopt stijgend bcs e>1
-> p. 24 het verloop van de exponentiele functies: e x , e-x, -ex , -e-x moet je kennen!
DEF Logaritmische functies
+¿ ¿
De logaritmische functie loga is de inverse van Bereik R0 ->nooit logaritme van neg getal
de exponentiële functie expa. het voorschrift: neme!
+¿ ¿
loga: R0 ->ℝ : x-> loga (x) en w. gedifinieerd
als: Eigenschappen ook voor specifieke gevalle:
loga (x) = y <=> x = ay
loga is een strikt stijgende functie indien a>1 en
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } een strikt dalende functie indien a<1
Specifiek: natuurlijke logaritmische functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie ln(x) = loge (x) en wordt gedefinieerd als y = ln (x) <=> x = ey
-> p. 27 het verloop van de natuurlijke logaritmische functie moet je kennen!
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper studentmodeltraject. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
