Dit is de samenvatting van het vijfde hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 5: Genererende functies
1 Voorbeelden en definitie
Voorbeeld:
Een moeder koopt 12 snoepjes en wil die verdelen onder haar drie kinderen: Piet, Andres en Jan. Wel
zo dat Piet er minstens 4 krijgt, Andres en Jan minstens 2 en Jan hoogstens 5.
Noteren we cP , cA en cJ voor het aantal snoepjes dat Piet, Andres en Jan respectievelijk krijgen,
hebben we cP + cA + cJ = 12 en cP >= 4, cA >= 2 en 5 >= cJ >= 2.
We kunnen alle oplossingen opschrijven:
We hebben dus 12 op alle mogelijke manieren geschreven als som van drie natuurlijke getallen die
voldoen aan de voorwaarden. Dit doen we eigenlijk ook als we de distributiviteit toepassen bij het
uitwerken van volgend product van veeltermen:
De eerste factor komt overeen met het feit dat de toegelaten waarden voor cP enkel 4, 5, 6, 7 en 8
zijn. De tweede factor ontstaat uit de opmerking dat een oplossing steeds een cA zal hebben in {2, 3,
4, 5, 6}. In het product komt de coëfficiënt van x12 overeen met alle mogelijke manieren om x12 te
bekomen door een term te nemen in elk van de drie factoren. Dus is de oplossing van het vraagstuk
ook de coëfficiënt van x12 in het product van veeltermen.
Tweede voorbeeld:
We hebben grote hoeveelheden knikkers van vier kleuren : rood, groen, wit en zwart. Op hoeveel
manieren kan je 24 knikkers kiezen zo dat er een even aantal witte is en minstens 6 zwarte.
We maken een veelterm die een factor heeft voor elke kleur. Op de rode of groene knikkers is er
geen beperking : er kunnen geen, 1, 2, . . . , 17 of 18 (niet meer want minstens 6 knikkers zijn zwart)
knikkers zijn van die kleur. Dit geeft voor beide kleuren een factor (1+x+x2+· · ·+x18). De factor van de
witte knikkers bevat enkel even machten : (1+x2+x4+· · ·+x18). Aangezien er minstens 6 zwarte
knikkers zijn, krijgen we een factor (x6+x7+· · ·+x24).
Het antwoord op de vraag is dus gelijk aan de coëfficiënt van x24 in het product:
Definitie:
Zij a0, a1, a2, . . . een rij van reële getallen. De genererende functie voor die rij is per definitie
∞
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
2
𝑖=0
1
, Voorbeeld:
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
De genererende functie van de rij ( ) , ( ) , ( ) , … , ( ) , 0,0, … is ∑𝑛𝑖=0( )𝑥 𝑖 = (1 + 𝑥)𝑛 .
0 1 2 𝑛 𝑖
Voorbeeld:
We weten zeer goed dat (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn) = 1 − xn+1 , waaruit volgt
1 − 𝑥 𝑛+1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1−𝑥
Bijgevolg is bovenstaande breuk een een genererende functie voor de rij 1,1,1,…,1,0,0… (n+1 enen).
Voorbeeld:
2 Veralgemeende binomiaalcoëfficiënten
Wat is het volgende getal in de rij 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 …?
Merk op dat →
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lennyS. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,48. Je zit daarna nergens aan vast.
