Samenvatting Hoofdstuk 2: Eenvoudige Principes van de Discrete Wiskunde
62 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Discrete Wiskunde
Instelling
Vrije Universiteit Brussel (VUB)
Dit is de samenvatting van het tweede hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 2: Eenvoudige principes van de
discrete wiskunde
1 De duiventil
Stelling (principe van de duiventil):
Als we n identieke objecten verdelen over k dozen met n > k, dan is er minstens 1 doos met
minstens 2 objecten.
Bewijs:
Uit het ongerijmde:
Veronderstel van niet. Dan is er in elke doos hoogstens 1 object. Zij m het aantal lege dozen.
Dan zijn er in totaal k – m dozen met juist 1 object. Vermits alle objecten verdeeld werden,
geldt:
𝑛 =𝑘−𝑚 ≤𝑘 <𝑛
En dat is een tegenspraak. ∎
1.1 Toepassing duiventil
Gevolg van de duiventil:
In de eerste 2013 elementen van de rij 7, 77, 777, … zit minstens 1 veelvoud van 2013.
Bewijs:
We noteren de eerste elementen van de rij 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎2013. Voor twee getallen a en b kunnen
we steeds quotiënt q en rest r bepalen zodat 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 met 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. Doe dit nu voor alle
getallen in de rij. Dus ∀ 𝑖 ∈ {1, … ,2013} bepalen we de 𝑞𝑖 en 𝑟𝑖 zo dat 𝑎𝑖 = 2013𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 .
Als er een i bestaat met ri = 0, dan is ai deelbaar door 2013 en is er niets meer te bewijzen.
Veronderstel nu, uit het ongerijmde, dat geen enkele ri nul is. Dan is {𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟2013 } een
deelverzameling van {1, 2, …, 2012}, de mogelijk niet-nulle resten bij deling door 2013. De
duiventil leert ons minstens 2 resten gelijk zijn. Dus ∃𝑖 ≠ 𝑗 ∈ {1,2, … ,2013} met 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 . We
mogen, zonder verlies van algemeenheid, aannemen dat 𝑎𝑖 > 𝑎𝑗 .
Bekijk nu het verschil 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 . Dit is enerzijds gelijk aan:
Of dus 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 77 … 77 × 10𝑗 .
Anderzijds is 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = (2013𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 ) − (2013𝑞𝑗 + 𝑟𝑗 ) = 2013(𝑞𝑖 − 𝑞𝑗 ) + 0, aangezien 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 .
Dus 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 𝑎𝑖−𝑗 × 10𝑗 is een veelvoud van 2013. Dit wil zeggen dat 𝑎𝑖−𝑗 × 10𝑗 deelbaar is
door 2013, maar vermits 10𝑗 geen enkele deler gemeenschappelijk heeft met 2013, moet
𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 een veelvoud zijn van 2013. We bekomen een tegenspraak en dus is het
tegengestelde bewezen. ∎
Veralgemeende duiventil:
𝑛
Als je n identieke objecten verdeelt over k dozen, dan is er minstens 1 doos met minstens ⌈ ⌉
𝑘
objecten. Het bewijs is analoog met dat van de gewone duiventil.
1.2 Toepassing veralgemeende duiventil
In een groep van 6 mensen zijn elke 2 individu’s ofwel vrienden ofwel vijanden. Men kan met
zekerheid zeggen dat er in deze groep drie mensen zijn die ofwel 2 aan 2 vrienden zijn,
ofwel 2 aan 23 vijanden.
Bewijs:
Zij A een van die personen. De overblijvende 5 personen vallen uiteen in 2 groepen: de
vrienden van A en de vijanden van A. Door het veralgemeend principe van de duiventil bevat
5
1 van die 2 groepen minstens ⌈ ⌉ = 3 personen. Onderstel dat we dus minstens 3 vrienden
2
hebben (het geval dat er minstens 3 vijanden zijn verloopt analoog). We noemen B, C, D drie
van die vrienden. Als 2 van de 3 bevriend zijn is het bewijs gedaan. Als geen 2 van de drie
vriend zijn, hebben we 3 personen gevonden die 2 aan 2 vijanden zijn. ∎
2 Eenvoudige teltechnieken
Als we objecten tellen in dozen (zoals in het vorige deel) komt het er eigenlijk op neer dat we
elementen tellen in disjuncte verzamelingen.
2.1 Tellen
Stelling:
Twee eindige verzamelingen A en B bevatten evenveel elementen als en slechts als er een
bijectie A ←→ B bestaat.
Formeel definiëren wat we bedoelen met “aantal elementen in een eindige verzameling”.
• elementen van een verzameling A tellen
o komt eigenlijk overeen mat nummeren van de elementen van A.
▪ neem een eerste element weg uit de verzameling, dan een tweede
enz. tot er geen meer zijn
• Dit resulteert in een bijectie f tussen de verzameling {1, 2, . . . , n} en A met f(i) = i-de
element van A in onze selectie.
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper lennyS. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,48. Je zit daarna nergens aan vast.
