College aantekeningen
MT4528 Markov Chains and Processes FULL COURSE
- Vak
- Instelling
Personal revision notes
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 32 pagina's
Voorbeeld 4 van de 32 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
WinterBerry
Voorbeeld van de inhoud
MT4528 BibleNotes for MT4528: Markov Chains and Processes
S1 - 2021/2022
Contents
1 Preliminaries 3
1.1 Probability Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Independence and Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Probability Generating Functions (PGFs) . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Compound Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Markov Chains 6
2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Directed Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Transition Probability Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Chapman-Kolmogorov Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 State Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Decomposition of Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Limiting/Stationary Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Random Walks 16
3.1 Gambler’s Ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Gambler’s Ruin vs. Infinite Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Unrestricted Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Branch Processes 19
4.1 Properties of the Galton-Watson Process . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Extinction Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Markov Processes 22
5.1 Continuous-time Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Birth/Death Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
,6 Queues 27
6.1 Introduction and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1 Kendall’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 The M/M/1/1 queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 The M/M/1 queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 The M/M/s/s queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 The M/M/s queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.6 The M/M/∞ queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Hidden Markov Models 31
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2.1 Probability of a sequence of observations . . . . . . . . . . . 32
2
,1 Preliminaries
1.1 Probability Axioms
For a probability distribution P on a sample space S,
1. P(A) ≥ 0 for A ⊂ S
2. P(S) = 1
3. if A1 , A2 , ... are disjoint/mutually exclusive (i.e. i ≥ j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅), then
∞ ∞
!
[ X
P Ai = P(Ai )
i=1 i=1
Thus, for a random
P∞variable X taking values 0, 1, 2, ... with P(X = n) = pn , we have
0 ≤ pn ≤ 1 and i=1 pn = 1 (”honesty condition”). We call pn the probability
mass function (p.m.f).
1.2 Independence and Conditional Probability
• Events A and B are independent if
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
• Random variables X and Y are independent if, for any intervals d, e,
P ({X ∈ d} ∩ {Y ∈ e}) = P({X ∈ d})P({Y ∈ e})
• For P(B) > 0, the conditional probability of A given B is
P(A ∩ B)
P(A | B) =
P(B)
Note: if A and B are independent, then P(A | B) = P(A).
Theorem of Total Probability
Let B1 , B2 , ... be mutually exclusive with ∞
S
i=1 Bi = S (i.e. B1 , B2 , ... form a parti-
tion of the sample space). Then, for any event A,
∞
X
P(A) = P(A | Bn )P(Bn ) (1)
n=1
3
, Theorem of Total Conditional Probability
Let B1 , B2 , ... be mutually exclusive with ∞
S
i=1 Bi = S. Then, for any events A and
C with P(C) > 0,
∞
X
P(A | C) = P(A | Bn ∩ C)P(Bn | C) (2)
n=1
1.3 Probability Generating Functions (PGFs)
Let X be a random variable taking non-negative integer values with P(X = n) =
pn , n = 0, 1, .... The corresponding probability generating function (PGF) is
∞
X
GX (s) = pn s n
n=0
Theorem of Uniqueness
Let X and Y be non-negative integer-valued random variables. Suppose that
GX (s) = GY (s) for all |s| < 1. Then X and Y have the same distribution (i.e.
P(X = k) = P(Y = k) for all k = 0, 1, 2, ...).
Let GX (s) be the PGF of the probability distribution of a random variable X.
Then
1. GX (1) = 1
2. G′X (1) = E(X)
3. G′′X (1) = E(X 2 ) − E(X)
4. Var(X) = G′′X (1) + G′X (1) − G′X (1)2
Proposition:
Let X and Y be independent non-negative integer-valued random variables and let
Z = X + Y . Then
GZ (s) = GX (s)GY (s) (3)
1.4 Compound Distributions
Let X1 , X2 , ..., Xn be independent and identically distributed random variables with
common PDF GX (s). Let N be a non-negative integer. We define T by
(
0 if N = 0
T =
X1 + ... + XN if N ≥ 1
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper WinterBerry. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €20,43. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 81849 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen