Samenvatting
Samenvatting Kansrekening (FEB21005)
- Instelling
- Erasmus Universiteit Rotterdam (EUR)
Uitgebreide samenvatting van Kansrekening (econometrie EUR)
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 12 pagina's
Voorbeeld 2 van de 12 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Week 1Discrete sample space
Finite or countably infinite number of outcomes
Continuous sample space
Uncountable number of outcomes
Axioms of probability
1. 𝑃(𝐴) ≥ 0 for any event A
2. 𝑃(𝑆) = 1
3. For any countable collection of disjoint events 𝑃(⋃" "
!#$ 𝐴! ) = ∑!#$ 𝑃(𝐴! )
Conditional probability
The conditional probability of an event A, given the event B, is defined by
%('∩))
𝑃(𝐴|𝐵) = %()) if 𝑃(𝐵) > 0
Bayes’ rule
Let 𝐴$ , … , 𝐴+ be disjoint and exhaustive events and assume 𝑃(𝐵) > 0, then
%()|'! )%('! )
𝑃2𝐴, 3𝐵4 = ∑#
"$% %()|'" )%('" )
Independence of A and B
Two events A and B are called independent events if 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
The definitions 𝑃(𝐴 | 𝐵) = 𝑃(𝐴) and 𝑃(𝐵 | 𝐴) = 𝑃(𝐵) are equivalent
Mutually independent
Events 𝐴$ , … , 𝐴+ are mutually independent if for every 𝑘 = 2, 3, … , 𝑛 and for every subset
{𝑖$ , … , 𝑖/ } of {1, 2, … , 𝑛} 𝑃 =⋂/,#$ 𝐴!! ? = ∏/,#$ 𝑃 =𝐴!! ?
Random variable (rv)
A random variable is a function: 𝑆 → ℝ, we use capital letters to denote a rv
Discrete random variable
The set of possible values for the random variable is finite or countably infinite
The probability distribution of a discrete random variable is completely described by the
probability density function (pdf), defined by
𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑃({𝑠 ∈ 𝑆: 𝑋(𝑠) = 𝑥}), for every number 𝑥
A function 𝑝(𝑥) is a discrete pdf if and only if 𝑝(𝑥! ) ≥ 0, ∀𝑥! en ∑122 3" 𝑝(𝑥! ) = 1
The cumulative distribution function (cdf) of a discrete rv is the function
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥) = ∑4:463 𝑝(𝑦)
A discrete function is continuous from the left, so the probability that 𝑥 is between 𝑎 and 𝑏
is equal to 𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏)
Continuous random variable
The set of all possible values for the random variable is uncountably infinite
The cdf of a continuous random variable X is a continuous function
A probability density function (pdf) of a continuous random variable X is a function 𝑓 such
3
that 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫7" 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
If X is a continuous random variable with probability density function 𝑓 and cumulative
distribution function 𝐹, then at every x where 𝐹 8 (𝑥) exists, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Calculation probability continuous rv
9
For any 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫1 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Writing down pdf
All distributions, except for the normal distribution, have a 0 part, so the pdf will be
…, 𝑓𝑜𝑟 …
𝑓(𝑥) = U
0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
1
, Expectation
If X is a random variable with pdf 𝑓(𝑥) and 𝑢(𝑥) is a real-valued function whose domain
includes the possible values of X, then
- 𝐸2𝑢(𝑋)4 = ∑3 𝑢(𝑥)𝑓(𝑥) if X is discrete
"
- 𝐸2𝑢(𝑋)4 = ∫7" 𝑢(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 if X is continuous
To calculate the mean/expectation of X, we take 𝑢(𝑥) = 𝑥
Properties of expectation
- 𝐸(𝑐) = 𝑐
- 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏
Variance
:
The variance of a random variable X is given by 𝑉(𝑋) = 𝐸 a2𝑋 − 𝐸(𝑋)4 b
Properties of variance
- 𝑉(𝑋) ≥ 0
- 𝑉(𝑎𝑋) = 𝑎: 𝑉(𝑋)
- 𝑉(𝑋 + 𝑏) = 𝑉(𝑋)
- 𝑉(𝑎𝑋 + 𝐵) = 𝑎: 𝑉(𝑋)
:
- 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 : ) − 2𝐸(𝑋)4
(Central) moment
The 𝑘;< moment 𝜇8 / of a random variable X is 𝐸(𝑋 / )
The 𝑘;< central moment 𝜇/ of a random variable X is 𝐸((𝑋 − 𝜇)/ )
=& ='
skewness = >& (measure of asymmetry) and kurtosis = >' (measure of fatness of tails)
Markov’s inequality
For a random variable that only takes positive values, it holds that, for every 𝑐 > 0,
?(3)
𝑃(𝑋 ≥ 𝑐) ≤ @
Chebyshev inequality
For every random variable X with expected value 𝜇 and variance 𝜎 : > 0 and 𝑘 > 0 it holds
>( >(
that 𝑃(|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑐) ≤ @ ( ⇔ 𝑃(|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝑐) ≥ 1 − @ ( , or with 𝑐 = 𝑘𝜎
At least 0% of the realizations lies within σ of μ
At least 75% of the realizations lies within 2σ of μ
At least 89% of the realizations lies within 3σ of μ
Week 2
Moment generating function
If X is a random variable, then the expected value 𝑀A (𝑡) = 𝐸(𝑒 ;A ) is called the Moment
Generating Function (MGF) of X is this expected value exists for all values of t in some
interval of the form |t| < h for some h > 0. It holds that 𝑀A (0) = 1
If X has MGF 𝑀A (𝑡) then 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 has MGF 𝑀B (𝑡) = 𝑒 9; 𝑀A (𝑎𝑡)
MGF and E(X)
(C)
If the MGF of X exists, then 𝐸(𝑋 C ) = 𝑀A (0) for all 𝑟 = 1, 2, … and
?(A ) ); )
𝑀A (𝑡) = 1 + ∑"
C#$ C!
PDF, CDF and MGF
3
PDF à CDF: 𝐹(𝑥) = ∫7" 𝑓(𝑦)𝑑𝑦
E
CDF à PDF: 𝑓(𝑥) = E3 𝐹(𝑥)
"
PDF à MGF: 𝐸(𝑒 ;A ) = ∫7" 𝑒 ;3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
MGF à PDF: recognize
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper LeonVerweij. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 56326 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen