Samenvatting
Samenvatting Lineair Programmeren (FEB21009)
Uitgebreide samenvatting van Lineair Programmeren (econometrie EUR)
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 10 pagina's
Voorbeeld 2 van de 10 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Week 1Termen
Beslissingsvariabelen Variabelen nodig in model voor berekeningen
Toegelaten oplossing Een toekenning van waarden aan de beslissingsvariabelen
wat voldoet aan de restricties
Toegelaten gebied De regio dat alle toegelaten oplossingen bevat
Doelfunctie Functie dat je wil maximaliseren/minimaliseren
Lineair programmerings model Eerste regel is je doelfunctie met het doel ervoor
Eronder staan de restricties
Optimale oplossing Toegelaten oplossing met de beste doelwaarde
Optimale doelwaarde Beste doelwaarde mogelijk, 𝑣(𝑋) voor probleem 𝑋
Aanpak lineair programmerings model
1. Welke beslissingen moeten er gemaakt worden? à beslissingsvariabelen
2. Welke restricties gelden er voor deze beslissingen? à restricties
3. Welke doelen moeten er bereikt worden met deze beslissingen? à doelfunctie
LP probleem
Een lineair programmerings probleem is een optimalisatie probleem waarbij de doelfunctie
lineair is in de beslissingsvariabelen en de restricties lineair zijn in de beslissingsvariabelen
LP probleem in standaard vorm
Een lineair programmerings probleem in standaard vorm is een maximalisatie probleem, heeft
‘minder dan of gelijk’ (≤) restricties en niet-negatieve beslissingsvariabelen
Wiskundig LP probleem in standaard vorm met 𝑛 beslissingsvariabelen en 𝑚 restricties is:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Met rekvariabelen wordt de eerste dictionaire dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! 𝑖 = 1, … , 𝑚
"
𝑧 = 0 + ∑!#$ 𝑐! 𝑥!
Naar standaard vorm transformeren
min 𝑧 = ∑"!#$ 𝑐! 𝑥! → max −𝑧 → max 𝑧′ = ∑"!#$(−𝑐! )𝑥!
"
∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏%
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! = 𝑏% → C "
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏%
"
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏% → ∑"!#$(−𝑎%! )𝑥! ≤ −𝑏%
−𝑥! ≤ −𝑙!
𝑙! ≤ 𝑥! ≤ 𝑢! → F
𝑥! ≤ 𝑢!
𝑥! ≱ 0 → 𝑥! = 𝑥!& − 𝑥!' , 𝑥!& , 𝑥!' ≥ 0, 𝑥!& ≔ maxI0, 𝑥! J, 𝑥!' ≔ −minI0, 𝑥! J
Aantal optimale oplossingen
Een LP probleem kan geen optimale oplossing hebben (leeg toegelaten gebied of onbegrensd
probleem), 1 optimale oplossing hebben of oneindig veel optimale oplossingen
2 dimensionale simplex methode
1. Verander in de restricties ≤ naar = en teken de vergelijkingen
2. Bepaal het toegelaten gebied
3. Tegen de doelfunctie met een random waarde in de grafiek
4. Probeer de doelfunctie vergelijking zo ver mogelijk parallel naar rechts te verschuiven totdat
je bijna uit het toegelaten gebied zit
5. De hoek (lijn) waar je op uitkomt is (zijn) je optimale oplossing(en)
, Geometrische simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen
3. Deze variabelen zijn samen met de beslissingsvariabelen de rekvariabelen, ze geven soort van
de afstand weer tot de lijnen
4. Door steeds van hoek naar hoek te gaan door 2 van de rekvariabelen 0 te maken, en daarbij
de doelfunctie waarde te vergroten vind je de optimale oplossing
Simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen, de rekvariabelen
3. Druk de rekvariabelen en 𝑧 (de doelfunctie) links uit in de beslissingsvariabelen
- Alle variabelen zijn niet negatief
- De variabelen aan de linkerkant zijn de basis variabelen
- De variabelen aan de rechterkant zijn de niet-basis variabelen
4. Kies een pivot regel, dit bepaalt de ‘entering’ variabele (een niet-basis variabele), en kijk
welke restrictie de entering variabele het meest tegenhoudt, de bijbehorende basis
variabelen is de ‘leaving’ variabele
5. Druk de entering variabele uit in de leaving variabele (en andere niet-basis variabelen in die
restrictie), de entering variabele is nu een basis variabele geworden en de leaving variabele
een niet-basis variabele
6. Substitueer de entering variabele in de andere restricties en doelfunctie
7. Herhaal dit vanaf stap 4 totdat de doelfunctie niet meer verhoogd kan worden, dus als alle
coëfficiënten in de 𝑧-rij negatief zijn
8. De doelwaarde die dan in de doelfunctie staat is dan de optimale doelwaarde, en de waarden
die achter de originele variabelen staan is de optimale oplossing
Pivot regels
Grootste coëfficiënt regel: selecteer de variabele in de 𝑧-rij met de grootste positieve coëfficiënt
Kleinste index regel: selecteer variabele in de 𝑧-rij met de kleinste index en positieve coëfficiënt
Week 2
Twee fase simplex methode
Neem het originele probleem:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Als er een 𝑏% < 0 bestaat, dan moet eerst het Help probleem worden opgelost:
max −𝑥(
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! − 𝑥( ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 0, … , 𝑛
Het Help probleem heeft een optimale oplossing met doelwaarde 0 ⟺ het toegelaten gebied
van het originele probleem niet leeg is
Oplossen Help probleem
1. Schrijf het Help probleem op in de standaard vorm
2. Introduceer weer rekvariabelen zoals bij het oplossen van een normaal probleem en de
eerste dictionaire is dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! + 𝑥( 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑧 = −𝑥(
3. De basis variabele met de meest negatieve 𝑏% is de leaving variabele, en de 𝑥( is de entering
variabele
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper LeonVerweij. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen