Deze aantekeningen zijn gemaakt voor het eerstejaarsvak Voortgezette Analyse aan de TU Delft. Het doel is een inleiding te geven in de Laplacetransformatie, Fourierreeksen, Fouriertransformaties en curvileaire coördinaten.
Deze aantekeningen zijn gemaakt voor het eerstejaarsvak Voortgezette Analyse aan de TU Delft. Het doel is
een inleiding te geven in de Laplacetransformatie, Fourierreeksen, Fouriertransformaties en curvileaire
coördinaten.
1 Laplacetransformaties
Voor nu onduidelijke reden zijn integraaltransformaties belangrijk in de wiskunde. Hierbij wordt een functie
f (t) getransformeerd naar een functie F (s) volgens:
Z β
F (s) = K(s, t)f (t) dt (1.1)
α
waar K(s, t), α en β gegeven zijn.
1.1 Definitie
De Laplacetransformatie is een voorbeeld van een integraaltransformatie. Deze is alsvolgt gedefinieerd:
Definitie Laplacetransformatie
Neem aan dat
1. f stuksgewijs continue is;
2. |f (t)| < Keat voor t ≥ M . Hier zijn K, a en M reële constanten, K en M noodzakelijk positief.
De Laplacetransformatie L{f (t)} wordt dan gegeven door:
Z ∞
L{f (t)} = F (s) = e−st f (t) dt (1.2)
0
mits deze integraal confergeert.
2
Een voorbeeld van een functie die niet voldoet aan de tweede aanname is f (t) = et . Voor iedere K en a
bestaat er een M waarvoor |f (t)| > Keat .
1
, Voorbeeld 1
Bepaal de Laplacetransformatie van f (t) = eat .
Z ∞ Z ∞
L{eat } = e−st eat dt = e−(s−a)t dt
0 ∞ 0
−1 −(s−a)t 1
= e =
s−a 0 s − a
Onder de voorwaarde dat s > a, omdat alleen dan de integraal convergeert.
Een wat uitdagender voorbeeld om meteen partieel integreren te herhalen volgt nu.
Voorbeeld 2
Bepaal de Laplacetransformatie van f (t) = sin(at).
Z ∞
L{sin(at)} = F (s) = e−st sin(at) dt
0
s ∞ −st s2
Z
1 1
F (s) = − e cos(at) dt = − 2 F (s)
a a 0 a a
wat eenvoudig kan worden afgeleid met de definitie van een Laplacetransformatie.
Belangrijk is dat een Laplacetransformatie uniek is. Het is dus ook mogelijk terug te transformeren van
F (s) naar een unieke f (t). Dit wordt vaak aangegeven met f (t) = L−1 {f (t)}.
1.2 Differentiaalvergelijkingen
Een toepassing van de Laplacetransformatie is het oplossen van differentiaalvergelijkingen. We zullen ons
beperken tot lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten.
Een belangrijke stelling is de volgende:
Stelling
Neem aan dat f continue en f ′ stuksgewijs continue is en aan de voorwaarden voor een Laplacetrans-
formatie is voldaan, dan geldt
L{f ′ (t)} = sL{f (t)} − f (0) (1.4)
Het bewijs is alsvolgt:
Z A
L{f ′ (t)} = lim e−st f ′ (t) dt
A→∞ 0
2
, Partieel integreren geeft
( )
A Z A
′ −st −st
L{f (t)} = lim e f (t) + se f (t) dt
A→∞ 0
0
L{f ′ (t)} = sL{f (t)} − f (0)
Hetgeen wat bewezen moest worden.
Op exact dezelfde manier kan eenvoudig worden aangetoond dat
L{f ′′ (t)} = s2 L{f (t)} − sf (0) − f ′ (0)
Dit patroon kan worden gegeneraliseerd tot de volgende stelling.
Stelling
Neem aan dat f , f ′ ,...,f (n−1) continue en f (n) stuksgewijs continue zijn en aan de voorwaarde voor
een Laplacetransformatie is voldaan, dan geldt
L{f (n) (t)} = sn L{f (t)} − sn−1 f (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) (1.5)
Het oplossen van differentiaalvergelijkingen met Laplacetransformaties is op deze stelling gebaseerd. Stel
we nemen van een tweede orde lineare niet-homogene differentiaalvergelijking met constante coëffiënten van
beiden kanten de Laplacetransformaties:
ay ′′ + by ′ + cy = f (t)
a[s2 L{y} − sy(0)−y ′ (0)] + b[sL{y} − y(0)] + cL{y} = L{f (t)}
(as + b)y ′ (0) + ay(0) + L{f (t)}
L{y} =
as2 + bs + c
Nu is het zaak terug te transformeren naar een functie y(t), waarmee de differentiaalvergelijking is opgelost.
Voorbeeld 3
Vind de oplossing voor de differentiaalvergelijking y ′′ + y = sin(2t) met y(0) = 2 en y ′ (0) = 1.
Van beiden kanten de Laplacetransformatie nemen geeft
2
s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0) + Y (s) =
s2 + 4
2s3 + s2 + 8s + 6 As + B Cs + D 2s 5/3 2/3
Y (s) = 2 2
= 2 + 2 = 2 + 2 − 2
(s + 1)(s + 4) s +1 s +4 s +1 s +1 s +4
Een tabel raadplegen geeft dan
5 1
y(t) = 2 cos(t) + sin(t) − sin(2t)
3 3
1.3 Stapfuncties
Laplacetransformaties zijn uitermate geschikt voor problemen waar de aandrijvingskracht niet continue is of
impulsief. Voor het analyseren van dit soort problemen introduceren we de eenheidsstapfunctie uc :
0, t < c,
uc (t) = c≥0 (1.6)
1, t ≥ c,
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper janvandervlugt. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,65. Je zit daarna nergens aan vast.
