Wiskunde paragraaf 9.1 – lineaire en exponentiële groei
o Theorie A – Formules bij lineaire groei
1. Er is sprake van lineaire groei als er steeds hetzelfde bij komt, het groeit
dus met een constante hoeveelheid.
2. Als je bij lineaire groei een grafiek gaat tekenen is het een rechte lijn.
De formule die bij lineaire groei hoort:
𝑁𝑁
𝑁𝑁 = aantal , 𝑡𝑡 = tijd , 𝑎𝑎 (richtingscoëfficiënt), b = vul je in
∆𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐵𝐵 − 𝑁𝑁𝐴𝐴
𝑎𝑎 = =
∆𝑡𝑡 𝑡𝑡𝐵𝐵 − 𝑡𝑡𝐴𝐴
o Theorie A – Formules bij exponentiële groei
1. Wordt de hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde getal (de
groeifactor) vermenigvuldigd.
2. Bij exponentiële groei is de grafiek toenemend/stijgend in een boog.
De formule die bij exponentiele groei hoort:
𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡
𝑁𝑁 = aantal , 𝑡𝑡 = tijd , 𝑔𝑔 = groeifactor, 𝑏𝑏 = beginhoeveelheid
o Theorie B – Tabellen bij exponentiële groei
voorbeeld:
Jaar 1998 2002 2006 2010 2014
Aantal km 17 600 21 500 26 200 32 000 39 000
Toon aan dat er sprake is van exponentiële groei.
1. Bekijk de tabel
2. Toon aan dat er sprake is van exponentiële groei, bij exponentiële
groei is er altijd sprake van een groeifactor. Je wilt dus achterkomen
wat die groeifactor is.
3. Deel de hoeveelheden door elkaar:
21 500 26 200 32 000 39 000
= 1,22 , 21 500 = 1,22 , 26 200 = 1,22 , 32 000 = 1,22
17 600
4. Je ziet dus dat er telkens 1,22 uitkomt, dus er is sprake van exponentiële
groei (conclusie).
o Theorie C – Grafieken bij exponentiële groei
Negatieve groeifactoren komen niet voor, maar de groeifactor kan wel
kleiner dan 1 zijn. De hoeveelheid neemt dan af. Ook in deze gevallen
spreken we van exponentiële groei.
Bij de grafiek van 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡 kun je dus twee situaties onderscheiden: voor 𝑔𝑔
russen 0 en 1 is de grafiek afnemend(/dalend) en voor 𝑔𝑔 groter dan 1 is de
grafiek toenemend(/stijgend).
1
, Wiskunde paragraaf 9.2 – Groeipercentages
o Theorie A – Groeifactor berekenen
Groeifactor berekenen:
18% erbij geeft 12% eraf geeft
100% + 18% = 118% 100% - 12% = 88%
dus x 1,18 dus x 0,88
o Theorie A – Groeifactor omrekenen
aan de hand van een voorbeeld:
Een hoeveelheid neemt per 6 uur met 18% toe,
a)Hoeveel procent is de toename per dag?
Het wordt 4 keer zo groot (4 x 6),
g6 uur = 1,18
aangezien je het van 24 uur wilt
gdag (24 uur) = 1,184 = 1,939(groeifactor)
weten.
procentuele toename is 93,9%
Een hoeveelheid neemt per 6 uur met 18% toe,
a)Hoeveel procent is de toename per uur?
Het wordt 6 keer zo klein (),
g6 uur = 1,18
1 aangezien je het van één uur wilt
g1 uur = 1,186 = 1,028(groeifactor) weten.
procentuele toename is 2,8%
o Theorie B – Verdubbelingstijd
Hoe lang duurt het totdat de hoeveelheid verdubbelt is.
Gelijk aan 2, aangezien bij iets dat
De vergelijking die daar bij hoort: verdubbeld. Het keer 2 wordt
gedaan.
gt = 2
voorbeeld:
Een populatie neemt toe met 8,3% per jaar. Berekenen de verdubbelingstijd in
maanden nauwkeurig.
gt =2
gjaar = 1,083
1,083t =2
y1 = 1,083x
y2 =2
Optie “INCT” geeft x = 8,69
Dus, 8 jaar en 8 maanden(0,69 x 12). Je zou ook 8,96 x 12 kunnen doen dan
kom je uit op 104 maanden.
2
