Domein 1 Hele getallen en bewerkingen
Algoritmen
Een algoritme is een oplossingsmethode opgebouwd uit een vaste rij met
elementaire rekenstappen die zeker tot het goede antwoord leidt. Cijferend rekenen
is een voorbeeld van een algoritme.
Volgorderegels
Meneer van Dalen Wacht op Antwoord.
1. Bewerkingen tussen haakjes
2. Machtverheffen en wortelstrekken
3. Vermenigvuldigen en delen (in de volgorde waarin het staat)
4. Optellen en aftrekken (in de volgorde waarin het staat)
Priemgetallen
Getallen die alleen deelbaar zijn door zichzelf en door 1.
Ontbinden in priemfactoren voorbeeld
Ontbind 140 in factoren.
Probeer de getallen achtereenvolgens zo vaak mogelijk te delen door 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19.
140 : 2 = 70
70 : 2 = 35
35 : 5 = 7
7:7=1
Het getal 140 bestaat uit de factoren 2, 2, 5 en 7.
,Met andere woorden:
140 = 2 x 2 x 5 x 7
Het schrijven van een getal als product van priemfactoren:
Deel door priemgetallen totdat je 1 overhoudt.
Begin altijd met delen door het kleinste priemgetal.
Als dat niet kan, probeer dan het eerstvolgende priemgetal net zo lang totdat
je 1 overhoudt
Schrijf 420 als product van priemfactoren.
Uitwerking
We weten dat het kleinste priemgetal is 2. Dus begin met delen door 2 totdat dit niet
meer kan.
420 : 2 = 210
210 : 2 = 105
105 : 3 = 35 (105 kun je niet delen door 2, want het is een oneven getal. Het
volgende priemgetal is 3. 105 kun je delen door 3, want de som van de cijfers
is ook deelbaar door 3 (1 + 0 + 5 = 6, 6 is deelbaar door 3).)
35 : 5 = 7 (35 kun je niet meer delen door 3, want de som van de cijfers, 3 + 5
= 8, is niet deelbaar door 3. Het volgende priemgetal is 5.)
7 : 7 = 1 (7 kun je niet meer delen door 5. Het volgende priemgetal is 7.)
Nu ben je bij 1 uitgekomen en is de berekening klaar. Alle getallen waardoor je
gedeeld hebt zijn de priemfactoren. Als je deze achter elkaar schrijft krijg je:
2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 420
Deelbaarheid
Een getal is deelbaar als… Bewijs
door…
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of Alle tienvouden zijn
8 deelbaar door 2.
3 De som van de cijfers van 34.567 kan niet want:
het getal deelbaar is door 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25, 25
3. is niet deelbaar door 3.
4 Het getal gevormd door 2356 is deelbaar door 4
de laatste 2 cijfers want, 56 is deelbaar door
deelbaar is door 4. 4.
5 Het eindigt op 0 of 5 Alle tienvouden zijn
deelbaar door 5.
6 Het getal deelbaar is door 1368 is deelbaar door 6,
2 en 3, dan is het ook want het is deelbaar door
deelbaar door 6. 2 en door 3.
7 Het getal dat gevonden 7.364 is deelbaar door 7
, wordt door het laatste want, 36 – 2 x 4 = 28. 28
cijfer weg te laten en is deelbaar door 7.
tweemaal af te trekken
van het getal gevormd
door de overblijvende
cijfers.
8 Het getal gevormd door 1248 is deelbaar door 8
de laatste 3 cijfers omdat 248 deelbaar is
deelbaar is door 8. door 8, want 248 : 8 = 31.
Dus 1248 : 8 = 156
9 De som van de cijfers Zo is 747 deelbaar door 9
deelbaar is door 9. omdat 7 + 4 + 7 = 18 en
18 is deelbaar door 9.
Dus 747 : 9 = 8
10 Het eindigt op 0. 150 : 10 = 15
Eigenschap van bewerkingen
1. Communicatieve eigenschap (wisseleigenschap) alleen voor optellen en
vermenigvuldigen.
7 +8=8+7
2. Distributieve eigenschap (verdeeleigenschap)
Traditionele manier: 8 x (5 + 7) = (8 x 5) + (8 x 7)
Splitsen: 18 x 25 = 10 x 25 en 8 x 25
Inverse: (37 x 5,5) + (5,5 x 63) = 100 x 5,5
Om beter uit te komen: 39 x 25 = 36 x 25 + 3 x 25 = 900 + 75
3. Associatieve eigenschap (schakeleigenschap) alleen voor optellen en
vermenigvuldigen.
(3 + 4) + 5 = 3 + (4+5) =
4. Inverse eigenschap
24 : 3 = 8 dus 8 x 3 = 24
5. Compenseren (termen veranderen/transformeren)
124 + 189 = 113 + 200
Transformeren: de aanpassingen die gemaakt worden, worden ook direct
verwerkt.
25 + 17 = 30 + 12
Compenseren: de aanpassingen worden pas achteraf verwerkt
, 25 + 17 = 30 + 17 -5
Voor optellen geldt: als er bij de ene term iets wordt opgeteld, moet dit bij de
andere term worden afgehaald.
Rekenstrategieën
Rijgen
Sommen in het gebied van het rekenen tot honderd (bijvoorbeeld 27 + 38 = of 35 –
17 = ) kunnen op verschillende manieren opgelost worden. Bij het rekenen via de
rijgmethode wordt in een optelling of aftrekking het eerste getal intact gelaten en
wordt het tweede getal gesplitst. Dit wordt al of niet in delen (rijgend) aan het eerste
getal toegevoegd of ervan afgehaald. De lege getallenlijn kan hierbij als
ondersteunend model dienen, omdat je daarop het rijgen zichtbaar kunt maken
Het rijgen laat verschillende niveaus van oplossen toe.
Zo kan de som 27 + 38 = op verschillende niveaus rijgend opgelost worden:
- 27 + 3 = 30; 30 + 30 = 60; 60 + 5 = 65.
- 27 + 10 = 37; 37 + 10 = 47; 47 + 10 = 57; 57 + 3 = 60; 60 + 5 = 65.
- 27 + 8 = 35; 35 + 10 = 45; 45 + 10 = 55; 55 + 10 = 65.
- 27 + 3 = 30; 30 + 5 = 35; 35 + 30 = 65.
Splitsen
Bij het rekenen tot 20 leren de kinderen dat bijvoorbeeld het getal 7 gesplitst kan
worden in 1 en 6, 2 en 5, 3 en 4, 4 en 3 enz. Men noemt dit de splitsingen van 7.
Het is de bedoeling dat de kinderen eind groep 3 of begin groep 4 alle splitsingen tot
10 geautomatiseerd hebben. Het kunnen splitsen van getallen is bijvoorbeeld nodig
bij sommen als 8 +5 = , waarbij als strategie het springen via de 10 gebruikt wordt.
Structurerend rekenen
Structurerend rekenen
is een vorm van verkort Tellend rekenen
rekenen op basis van Er zijn kinderen die hun rekenopgaven tellend oplossen.
een bepaalde structuur Kinderen die zo blijven rekenen, worden tellers
die de rekenaar in het genoemd. Tellend rekenen is na verloop van tijd
materiaal ziet of die de ongewenst, omdat het het risico op het maken van
rekenaar in het te tellen fouten vergroot en vooral omdat tellend rekenen erg
materiaal zelf langzaam is en de wiskundige essenties van de
aanbrengt. rekenopgave niet aan het licht brengt.
Denk aan de situatie dat Wordt de opgave 18 + 7 = tellend opgelost, dan ziet dat
je een spaarpot met eruit als (18), 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.
munten omgooit om te
tellen hoeveel geld je Varia
hebt gespaard. Veel Varia- rekenen komt voor bij handig rekenen en flexibel
mensen leggen rekenen. Onder de varia-aanpak vallen die aanpakken
vervolgens rijtjes met waarbij het oplossen van (context)opgaven handig
een vaste waarde per gebruik wordt gemaakt van parate kennis, relaties
rijtje. Bij het tellen kun je tussen getallen en eigenschappen van bewerkingen.
soms grote stappen Men onderscheidt compenseren, transformeren,
nemen, omdat je
bepaalde aantallen
ineens ziet, zonder te
hoeven tellen.
