Samenvatting
Summary Calculus 2
- Vak
- Calculus 2
- Instelling
- Rijksuniversiteit Groningen (RuG)
This summary was made with content from the book "Calculus. Early transcendentals" by James Stewart and also from lecture notes.
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 16 pagina's
Voorbeeld 2 van de 16 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Calculus 2February 2016
Chapter 12
A vector has a direction and length. We call position vector a vector that goes from the origin to a
~ is
point. If there are the points A(x1 , y1 , z1 ) and B(x2 , y2 , z2 ), the vector a with representation AB
a = hx2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 i
p
The legth of a vector is determined doing: |a| = a21 + a22 . Standard basis vectors:
i = h1, 0, 0i j =h0, 1, 0i k = h0, 0, 1i
a =a1 i + a2 j + a3 k
a
The unit vector of a vector a 6= 0: u = |a|
The Dot Product
a·b
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 → a · b = |a||b| cos theta → cos θ =
|a||b|
Two vectors are orthogonal if and only if a·b = 0. If a and b point in the same direction a·b = |a||b|
and if a and b point in opposite directions a · b = −|a||b|.
Direction Angles and Direction Cosines
The direction angles of a nonzero vector a are the angles α, β, and γ that a makes with the positive
x-, y-, and z-axes. The direction cosines of the vector a are:
a1 a2 a3
cosα = cosβ = cosγ = → cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
|a| |a| |a|
Projections
a
Scalar projection of b onto a: compa b = |a| b
a·b
Vector projection of b onto a: proja b = |a|2
a
The Cross Product
i j k
c = a × b ≡ a1 a2 a3 c is orthogonal to both a and b. |a × b| = |a||b| sin θ
b1 b2 b3
1
, If the cross product is equal to 0, then the two vectors are parallel to each other. For the standard
basis vectors i, j, and k we obtain:
i×j =k j×k =i k×i=j
j × i = −k k × j = −i i × k = −j
Some properties of the cross product:
a · (b × c) = (a × b) · c
a × (b × c) = b(ac) − c(ab) → Bac Cab Rule!
Triple Product
a1 a2 a3
a·(b×c) = b1 b2 b3 → It0 s the volume of the parallelepiped determined by the vectors a, b and c.
c1 c2 c3
Equations of lines and planes
A line L in three-dimensional space is determined when we know a point P on L and the direction
of L. The vector equation of L is:
r = r0 + tv (tv = a)
The parametric equations of the line L through the point P0 (x0 , y0 , z0 ) and parallel to the vector
v = ha, b, ci are:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
The symmetric equations of L are:
x − x0 y − y0 z − z0
= =
a b c
The line segment from r0 to r1 is given by the vector equation:
r(t) = (1 − t)r0 + tr1 0≤t≤1
Planes
Space determined by a point P0 (x0 , y0 , z0 ) and a normal vector that is orthogonal to the plane.
Two planes are parallel if their normal vectors are parallel (they will be the same normal vector).
The angle between 2 planes is defined as the acute angle between their normal vectors.
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 → ax + by + cz + d = 0
Cylinder and quadratic surfaces
In order to sketch the graph of a surface, it is useful to determine the curves of intersection of
the surface with planes parallel to the coordinate planes. These curves are called traces (or cross-
sections) of the surface.
A cylinder is a surface that consists of all lines (called rulings) that are parallel to a given line and
pass through a given plane curve. If one of the variables x,y,z is missing, then it’s a cylinder.
A quadratic surface is a second-degree equation in the three variables x, y, and z.
Ax2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 Ax2 + By 2 + Iz = 0
Page 2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Ariadnaaz. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,10. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen