100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting stellingen & bewijzen Wiskunde 2 (HI(B)) €3,99
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Universiteit Antwerpen (UA)
  4.  
  5. Handelsingenieur
  6.  
  7. Wiskunde

Samenvatting

Samenvatting stellingen & bewijzen Wiskunde 2 (HI(B))

3 beoordelingen
 16 keer verkocht
  • Vak
  • Wiskunde
  • Instelling
  • Universiteit Antwerpen (UA)

Dit is een samenvatting van alle te kennen stellingen en bewijzen van het vak wiskunde met bedrijfseconomische en technologische toepassingen 2 in het academiejaar gegeven door Tom Mestdag.

Voorbeeld 2 van de 14  pagina's

Document informatie

  • 17 januari 2023
  • 14
  • 2022/2023
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • wiskunde
  • handelsingenieur
  • in de beleidsinformatica
  • hib
  • bewijzen
  • stellingen
  • theorie
  • hoorcolleges
  • notities
  • 2
  • hi
  • hib

Geschreven voor

  • Universiteit Antwerpen (UA)
  • Handelsingenieur
  • Wiskunde
Alle documenten voor dit vak (1)

3  beoordelingen

review-writer-avatar

Door: thibeau009 • 3 maanden geleden

review-writer-avatar

Door: juliedens01 • 4 maanden geleden

review-writer-avatar

Door: HIstudent • 1 jaar geleden

Verkoper

avatar-seller
StudentUA8

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

Wiskunde 2: bewijzen en
stellingen
2.3 Matrixbewerkingen: Elementaire matrices
Stelling
Als j =/ k dan is Uij * Ukl = 0m
Als j = k dan is Uij * Ukl = Uil

Bewijs
De matrix 0m in de opgave van de stelling staat voor de nulmatrix in orde m. Beide beweringen volgen uit
Uij*Ukl = (⃗ ej ¿( ⃗
ei ∙ ⃗ ek ∙ ⃗
el )= ⃗ ej ¿ ¿ T ∙ ⃗
ei ∙( ⃗ ⃗T ¿
T T
ek )∙ el
In het geval dat j =/ k is de (1,1)-matrix ⃗ ej ∙ ⃗
T
ek net 0, dus is Uif * Ukl de nulmatrix. In het geval waarbij j=k is ¿ ¿= 1 en dus
Uij = Ujl = ⃗ ⃗ T
ei ∙ el = Uil


2.4 Matrixbewerkingen: De inverse van een vierkante
matrix
Stelling
Als A inverteerbaar is, is inverse matrix B uniek.

Stelling
( A ∙ B)−1=B−1 ∙ A−1
−1
( A¿¿ t ) =¿ ¿

Stelling
Er geldt voor i =/ j:
1) Eij(a) ∙ Eij(-a) = I
2) Eij ∙ Eij = I
3) Ei(c) ∙ Ei(c−1 ¿ = I

Bewijs
We tonen enkel de 1ste en de 3de uitspraak aan. De 2de is analoog
Er geldt: (I + aUij) (I - aUij) = I – aUij + aUij – a²Uij Uij
=I
Tevens is: (I+ (c-1) Uii) (I + (1 / c – 1) Uii) = I + (1/c - 1) Uii + (c-1) Uii + (c-1) (1/c -1) Uii Uii
= I + (1/c -1 + c – 1 + 1 – c – 1/c + 1)Uii
=I

Stelling
Voor een vierkante matrix (n x n) A zijn volgende uitspraken equivalent:
1) Matrix is regulier: rank(A) = n
2) Ref(A) = In
3) A is een product van elementaire matrices
4) A is inverteerbaar
x =⃗b van n vergelijkingen in n onbekenden heeft een unieke oplossing ⃗x = A−1 ∙ ⃗b
5) Het stelsel A ∙ ⃗

Bewijs
(1)  (2): Als rank(A) = n, dan zijn er n leidende 1-en. N is in een vierkante matrix ook het aantal rijen, dus ref(A) = In

, (2)  (3): ref(A) = In dus er bestaat een product van elementaire matrices C = Ek ∙ … ∙ E1 zodat C ∙A = In. Elk van die
elementaire matrices zijn inverteerbaar met elementaire inversie. Als gevolg is C ook inverteerbaar met
−1 −1 −1
C =E1 ∙ … ∙ E k . Indien C ∙ A = In vinden we dat A = C−1, wat het product is van elementaire matrices
(3)  (4): alle elementaire matrices zijn inverteerbaar
x =⃗b dat A ∙ A ∙ ⃗x = A ∙ ⃗b  ⃗x = A ∙ ⃗b
−1 −1 −1
(4)  (5): Wanneer A inverteerbaar is, dan volgt uit A ∙ ⃗
(5)  (1): Unieke oplossing voor rank(A) moet n zijn


4.1 Vectoren en deelruimten: R
n
als verzameling
van vectoren
Stelling
v1,…,⃗
Als vectoren {⃗ vk } lineair onafhankelijk zijn in Rn , dan is k =< n
Bewijs

[]
λ1
Noem ⃗λ= … . Lineaire onafhankelijkheid kunnen we ook uitdrukken als de eigenschap die zegt dat de
λk
matrixvermenigvuldiging van V ∙ ⃗λ = 0 ⃗ een unieke oplossing heeft, namelijk ⃗λ=⃗0. Deze matrixvermenigvuldiging kunnen
we is een stelsel van n vergelijkingen in k onbekenden. Hieruit volgt dat rank(V) net gelijk is aan het aantal onbekenden, in
dit geval dus k. Bij definitie is de rang van een n x k-matrix =< min(k, n). We kunnen dus concluderen dat k =< n.

Stelling
Elke basis van Rn telt n vectoren.



Stelling
Beschouw een stel vectoren {⃗
v1,…,⃗ vn} lineair onafhankelijk zijn in Rn , en de bijhorende matrix V ten opzichte van de
standaardbasis. De volgende uitspraken zijn equivalent:
1) Het stel {⃗
v1,…,⃗ vn} is lineair onafhankelijk
2) V is een inverteerbare n x n-matrix
3) Het stel vectoren {⃗
v1,…,⃗ vn} is een basis voor Rn
Bewijs
(1)  (2): rank(V) = k = n. Hieruit volgt dat V inverteerbaar is.
(2)  (3): Als V een inverteerbare n x n-matrix is, dan volgt hieruit dat elke matrixvergelijking V ∙ ⃗ x = ⃗b met ⃗x en b⃗ n-
dimensionale kolomvectoren een unieke oplossing heeft, namelijk ⃗ x =V ∙ b. Als we het geval b⃗ = 0 nemen, betekent
−1 ⃗

deze eigenschap dat alle vectoren {⃗ v1,…,⃗ vn} lineair onafhankelijk zijn. Anderzijds voor een willekeurige b⃗ kunnen de
(uniek bestaande) componenten xi van ⃗ x gebruikt worden om b⃗ te beschrijven als een lineaire combinatie x1⃗ v 1 + … + xn
⃗
vn. Hiermee hebben we voortbrengendheid aangetoond.
(3)  (1): Per definitie zijn de vectoren van een basis steeds lineair onafhankelijk.

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper StudentUA8. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 65040 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Laatst bekeken door jou

Samenvatting ·

(0)

Samenvatting methodisch werken deel 1

Voordeelbundel ·

(0)

Personen- en familierecht en erfrecht H4 H5

Case uitwerking ·

(0)

HPI4001 Economics of healthcare case 4

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

Advanced Pathophysiology Week 1 Quiz (UPDATE)

Voordeelbundel ·

(0)

M&O - Personeel & Organisatie - havo en vwo

Voordeelbundel ·

(0)

Geneeskunde selectie groningen 2022

Samenvatting ·

(0)

Very extensive summary of the lectures

Tentamen (uitwerkingen) ·

(0)

NURS6521 Midterm Exam 2. Questions & Answers (Graded A)

Overig ·

(0)

Alle wetten tentamen Fiscaliteit LB/IB!

€3,99  16x  verkocht
  • (3)
In winkelwagen
Toegevoegd