Samenvatting
Summary DIFFERENTIAL EQUATIONS THEOREMS
- Vak
- Instelling
A summary of theorems one needs to know when approaching differential equations and their solutions.
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 34 pagina's
Voorbeeld 4 van de 34 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgentheolinnaidoo1
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
,THEOREM 2.1 .The solutions of the form
the
Dy=tg
DE are
to exponentials
't
The
✗e _
initial value problem Dy=7y with yeol yo
= has a
unique solution
y= yoett
Proof :
Dl ✗ ett ) =
✗ ☐ Ce
> ᵗ
= ✗ Jett
= I c- ✗ ett )
! .
✗ ett is a solution
let f- be solution to Dy=7y
arbitrary
:
an
ᵗf "
" "
Dce f) de ᵗDf
-
-
te
-
= -
" *
de f If
- -
= + e-
-
"ᵗ "t
Ife Ife
-
-
= -
= 0
i. All solutions are exponentials .
,THEOREM 2.2
→ THE DIFFERENTIAL EQUATION ( D-II ) " 0
y
: =
K LINEARLY INDEPENDENT SOLUTIONS { ett tett Hett -1k left }
-
HAS , , , . . . .
,
PROOF :
① Show that these functions are solutions
[ Mathematical Induction]
For base case : k= I [ Use Theorem 1.1 ]
For k=jtl ,
we have :
( D- II )Jᵗ
'
( tiedt ) = ( D-II ) ( D- II )J ( tie't )
CD II)J ( jti e' ᵗ + t.iett-7bje.tl
-
'
= -
+
( D- II )i( jtj
'
ett )
_
=
j CD II )iltJ- ett )
'
= -
= 0
ett II )J ]
'
ti [ CD
-
Ker
-
:
E -
i. tie't is a solution
② Show independent
that they are
linearly
" "" 't
i. tie t dzte tastzettt 1- 9kt
" '
0
-
=
. . . . e
> c-
i. e ( ✗ it 921-1-931-2 t .
. .
1- 9kt
" "
) = 0
.
_
.
ett =o or di 1- 921-1-931-2 t . . .to/4b-ktl-- O
Ma ↓
ett > 0 { I ,
t ,
-12 . .
.
tk -1 } is LI .
i. ai = 0
{ die 't ✗ zte 't A-stze.tt }
'
-
.
, , . .
.
is Lt .
, THEOREM 2.3
If
Yp and
Yg are non-trivial solutions to CD -
7pI)kPy = 0
and { D-
7g }kay=o { where 7q≠1p } then the set
{ yqiyp } is
linearly independent .
Proof :
We look for solutions for :
✗
ypt 1399--0
Apply CD 7pI ) :
-
i. CD -
7pF ) ✗
ypt Byq -0
CD 7pI ) Byq
:>
=0
-
BCD-7p-tlyq-oi.pc.IQ -
Ip )yq=0
Yp is non-trivial :
Ig =/ Ip
:>
13=0
Apply CD
Agt ) :
-
CD -19=1 ) typ tpyq =o
= .
✗ CD -79-+7 Cfp =o
✗
cap -2g )yp=0
= .
i. ✗ =o :
Xp -1-79
yp -40
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper theolinnaidoo1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,48. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 57727 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen