Samenvatting
Statistical Inference summary (EOR)
Summary of most important theory from lectures and slides provided by dr. Vullings
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 20 pagina's
Voorbeeld 3 van de 20 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Statistical InferenceSummary
EBB075A05
Semester IA
Wouter Voskuilen
S4916344
1
,Wouter Voskuilen Statistical Inference
Lecture 1
Random sample
Definition (Random sample)
If the collection of random variables Y = (Y1 , ..., Yn )′ are independently identically dis-
i.i.d.
tributed, we write Yi ∼ F0 and refer to their realization y = (y1 , ..., yn )′ as a (simple)
random sample (r.s.) from Y .
Sample space: The set of all samples you could draw. Notation: Y, y, Y ∈ Y
Parametric model
Definition
The parametric statistical model (or parametric class) F is a set of pdf’s with the same
given functional form, of which the elements differ only by having different values of some
finite-dimensional parameter θ:
F := {f (·; θ) | θ ∈ Θ ⊂ Rk }, k < ∞
where Θ is called the parameter space.
The Likelihood funtion
If θ is known and y is unknown, then observing Y = y has density f (y; θ).
If the θ is unknown and y is known, we define a function that switches the variable and
parameter L(θ; y) = f (y; θ).
Definition
The likelihood function for the parametric statistical model F is a function L : Θ → R+ ,
defined as
L(θ; y) := c(y)f (y; θ),
for the joint pdf f and a generic function of the data c(·), for any fixed y ∈ Y.
Definition
The log-likelihood function for the parametric statistical model F is a function l : Θ → R
defined as
l(θ) = ln[L(θ)] = c + ln[f (y; θ)],
using the convention l(θ) = −∞ if L(θ) = 0.
2
, Wouter Voskuilen Statistical Inference
Definiton
Likelihoods for different samples are said to be equivalent if their ratio does not depend
on θ. The notation is L(θ; y) ∝ L(θ; z)
Definition
Given the samples y and z, if their likelihood functions are equivalent, then the statistical
inference on y and z is the same.
Lecture 2
Sufficient statistics
Definition
A statistic is a function T : Y → Rr , r ∈ N+ , such that T (y) does not depend on θ, with
t = T (y) its realization, or sample value.
Definition
For some F, a statistic T (y) is sufficient for θ if it takes the same value at two points
y, z ∈ Y only if y and z have equivalent likelihoods. i.e. if, for all y, z ∈ Y,
T (y) = T (z) =⇒ L(θ; y) ∝ L(θ; z) for all θ ∈ Θ.
Theorem (Neyman’s factorization)
For some F, T (·) is sufficient for θ if and only if we can factorize
f (y; θ) = h(y)g(T (y); θ).
So, if T is sufficient for θ, we can factor the joint density into a part that only depends
on the data, and a function that depends on θ and on the data, but only through T .
Minimal sufficient statistics
Definition
For some F, a sufficient statistic T (y) is minimal sufficient for θ if it takes distinct values
only at points in Y with non-equivalent likelihoods. i.e. if, for all y, z ∈ Y,
T (y) = T (z) ⇐⇒ L(θ; y) ∝ L(θ; z) for all θ ∈ Θ.
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper woutervoskuilen. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 82871 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen