Samenvatting
Summary Linear Models in Statistics | All Theory from Slides
All theory from slides in the course Linear Models in Statistics, provided by dr. M. Kesina. Covers all topics discussed in this course.
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 62 pagina's
Voorbeeld 4 van de 62 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Linear Models in StatisticsTheory
EBB072A05
Semester I B
Wouter Voskuilen
S4916344
Slides by dr. M. Kesina
1
,Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
Contents
1 Chapter 1: Matrix Algebra 3
1.1 Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Rank, Determinant, and Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Positive (semi) Definite Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Projection Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Partitioned Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Chapter 2: Random Vectors 17
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Operations and Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Variance-covariance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Correlation matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Chapter 3: Multivariate Normal and Related Distributions 23
3.1 Univariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Related Distributions: χ2 , F , and t distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Results on Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Distribution Check . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Chapter 4: Linear Model 28
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 OLS Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Bivariate Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Multivariate Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Goodness of Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Properties of the OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7 Frisch-Waugh-Lovell Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8 Wrong Specification of the Regressor Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9 Violation of the OLS Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.9.1 Violation of Assumption A.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.9.2 Violation of Assumption A.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
,Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
1 Chapter 1: Matrix Algebra
1.1 Vectors and Matrices
Let
a1
a2
a= .
..
an
a is called a vector (column vector).
The elements ai for i = 1, ..., n are called elements or components of a. n is the order of the
vector.
Let a and b be two vectors, which have the same order n.
Summation of two vectors:
a1 b1 a1 + b1
a2 b2 a2 + b2
a+b= . + . = .
.. .. ..
an bn an + bn
Vector summation is:
− Commutative: a + b = b + a
− Associative: (a + b) + c = a + (b + c), where c is a vector of the same order as a and
b.
Multiplication of a vector with a scalar λ
a1
a2
λa = λ .
..
an
Inner or scalar product of two vectors a and b of the same order n
n
X
⟨a, b⟩ = a′ b = ai bi .
i=1
The length (or norm) of a vector
√
∥a∥ = ⟨a, a⟩1/2 = a′ a.
3
, Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
Any nonzero vector can be normalized by
1
ao = a.
∥a∥
A normalized vector has norm 1.
Collinearity of two vectors a and b
a = λb
for some scalar λ.
Two vectors a and b with ⟨a, b⟩ = 0 are called orthogonal.
If ⟨a, b⟩ = 0 and ∥a∥ = ∥b∥ = 1, then a and b are called orthonormal.
Outer product of two vectors a and b of the same order
a1 b1 · · · a1 bn
ab′ = ... .. ..
. .
an b1 · · · an bn
Unit vectors or Elementary vectors ej :
ej consists of zeros and a single one on the jth position.
Unit vectors are orthonormal.
Vector of ones ιn :
ιn consists of ones only. The index indicates the size.
ιn is also called the sum vector
n
X n
X
ι′n a = ιi a i = ai .
i=1 i=1
Let
a11 · · · a1m
.. .. ..
A= . . .
a1n · · · anm
The matrix A is of order/size/dimension n × m.
We also write A = {aij } and Aij = aij .
Let A be a n × m matrix.
− A is square if n = m.
− A is symmetric if n = m and aij = aji , i, j = 1, ..., n.
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper woutervoskuilen. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €13,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 82871 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen