Samenvatting
Linear Models in Statistics summary
Summary of all material discussed in lectures, based on slides provided by dr. M. Kesina.
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 36 pagina's
Voorbeeld 4 van de 36 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Linear Models in StatisticsSummary
EBB072A05
Semester I B
Wouter Voskuilen
S4916344
Slides by dr. M. Kesina
1
,Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
Contents
1 Chapter 1: Matrix Algebra 3
1.1 Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Rank, Determinant, and Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Positive (semi) Definite Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Projection Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Partitioned Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Chapter 2: Random Vectors 15
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Operations and Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Variance-covariance matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Correlation matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Chapter 3: Multivariate Normal and Related Distributions 21
3.1 Univariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Related Distributions: χ2 , F , and t distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Results on Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Chapter 4: Linear Model 25
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 OLS Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Goodness of Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Properties of the OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Frisch-Waugh-Lovell Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8 Wrong Specification of the Regressor Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
,Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
1 Chapter 1: Matrix Algebra
1.1 Vectors and Matrices
Let a and b be two vectors, which have the same order n.
Summation of two vectors:
a1 b1 a1 + b1
a2 b2 a2 + b2
a+b= . + . = .
.. .. ..
an bn an + bn
Vector summation is:
− Commutative: a + b = b + a
− Associative: (a + b) + c = a + (b + c), where c is a vector of the same order as a and
b.
Multiplication of a vector with a scalar λ
a1
a2
λa = λ .
..
an
Inner or scalar product of two vectors a and b of the same order n
n
X
⟨a, b⟩ = a′ b = ai bi .
i=1
The length (or norm) of a vector
√
∥a∥ = ⟨a, a⟩1/2 = a′ a.
Any nonzero vector can be normalized by
1
ao = a.
∥a∥
A normalized vector has norm 1.
Collinearity of two vectors a and b
a = λb
for some scalar λ.
3
, Wouter Voskuilen Linear Models in Statistics
Two vectors a and b with ⟨a, b⟩ = 0 are called orthogonal.
If ⟨a, b⟩ = 0 and ∥a∥ = ∥b∥ = 1, then a and b are called orthonormal.
Outer product of two vectors a and b of the same order
a1 b1 · · · a1 bn
ab′ = ... .. ..
. .
an b1 · · · an bn
Let A be a n × m matrix.
− A is square if n = m.
− A is symmetric if n = m and aij = aji , i, j = 1, ..., n.
− A is diagonal if n = m and aij = 0 if i ̸= j, i, j = 1, ..., n.
Result 1
A is symmetric ⇐⇒ A = A′ .
Multiplication of a matrix A with a scalar λ
λA = {λaij }
Multiplication of an n × n matrix A with an m × 1 vector x
m
X
{Ax}i = aiℓ xℓ
ℓ=1
multiplication of an n × n matrix A and an m × k matrix B:
(m )
X
{AB}ij = ail blj
l=1
The resulting matrix AB is of dimension n × k.
Note: The number of columns of the first matrix equals the number of rows in the sec-
ond matrix.
A and B are conformable if their orders are such that AB is defined.
Result 2
For conformable matrices, (ABC)′ = C ′ B ′ A′ .
In the product AB:
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper woutervoskuilen. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen