ps5_solution_W19 University of California, San Diego ECE 250
1 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
ECE 250
Instelling
ECE 250
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SAN DIEGO
Electrical & Computer Engineering Department
ECE 250 - Winter Quarter 2019
Random Processes
Solutions to P.S. #5
1. Cauchy–Schwartz inequality.
(a) Prove the following inequality: (E(XY ))2 ≤ E(X2
)E(Y
2
). (Hint: Use the fact that for
any real t, E...
san diego electrical amp computer engineering department ece 250 winter quarter 2019 random processes soluti
Geschreven voor
ECE 250
Alle documenten voor dit vak (1)
Verkoper
Volgen
Themanehoppe
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SAN DIEGO
Electrical & Computer Engineering Department
ECE 250 - Winter Quarter 2019
Random Processes
Solutions to P.S. #5
1. Cauchy–Schwartz inequality.
(a) Prove the following inequality: (E(XY ))2 ≤ E(X 2 )E(Y 2 ). (Hint: Use the fact that for
any real t, E((X + tY )2 ) ≥ 0.)
(b) Prove that equality holds if and only if X = cY for some constant c. Find c in terms of
the second moments of X and Y .
(c) Use the Cauchy–Schwartz inequality to show the correlation coefficient |ρX,Y | ≤ 1.
p p p
(d) Prove the triangle inequality: E((X + Y )2 ) ≤ E(X 2 ) + E(Y 2 ).
Solution:
(a) We have, for every t ∈ R, E[(X + tY )2 ] ≥ 0, i.e., min t2 E[Y 2 ] + 2tE[XY ] + E[X 2 ] ≥ 0.
t∈R
From calculus, we see that the expression on the left attains its minimum value when
E[XY ]
t=− , and this minimum value is given by
E[Y 2 ]
(E[XY ])2
E[X 2 ] − . Thus, since E[Y 2 ] is non-negative, we have
E[Y 2 ]
E[X 2 ]E[Y 2 ] − (E[XY ])2 ≥ 0, i.e.
(E[XY ])2 ≤ E[X 2 ]E[Y 2 ].
(b) For the “if” part, we see that if X = cY for some constant c, then E[X 2 ] = c2 E[Y 2 ] and
E[XY ] = cE[Y 2 ], thus
2. Neural net. Let Y = X + Z, where the signal X ∼ U[−1, 1] and noise Z ∼ N(0, 1) are
independent.
(a) Find the function g(y) that minimizes
MSE = E (sgn(X) − g(Y ))2 ,
where (
−1 x ≤ 0
sgn(x) =
+1 x > 0.
(b) Plot g(y) vs. y.
Solution: The minimum MSE is achieved when g(Y ) = E(sgn(X) | Y ). We have
Z ∞
g(y) = E(sgn(X) | Y = y) = sgn(x)fX|Y (x|y) dx .
−∞
To find the conditional pdf of X given Y , we use
(1
fY |X (y|x)fX (x) 2 −1 ≤ x ≤ 1
fX|Y (x|y) = , where fX (x) =
fY (y) 0 otherwise.
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Themanehoppe. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,58. Je zit daarna nergens aan vast.
