Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
√
Gegeven: reëel getal 3 + 1.
√ √
Te bewijzen: 3 + 1 is niet rationaal ( 3 + 1 ∈ / Q) via een bewijs uit het ongerijmde.
√
Bewijs. Neem √ voor een tegenstelling aan dat 3 + 1 ∈ Q.
Dan geldt dat 3 + 1 = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0.
√
Hieruit volgt dat 3 = ab − 1 = ab − bb = (a−b) b . Omdat (a − b) en b gehele getallen zijn met
√ (a−b)
b 6= 0, kunnen we concluderen dat 3 = b ∈ Q.
√ √
Merk op dat 3 6= 0 en dat √ 3 rationaal is, hierdoor kunnen we zonder verlies van alge-
meenheid concluderen dat 3 = dc met c en d gehele getallen ongelijk aan 0 waarbij de enige
gemeenschappelijke delers van c en d de getallen 1 en −1 zijn (overige delers kunnen namelijk
worden weggedeeld). √ √
Verder impliceert 3 = dc dat 3 · d = c en kwadrateren geeft dat 3d2 = c2 .
Aangezien d2 een geheel getal is geldt 3 | 3d2 en aangezien 3d2 = c2 geldt 3 | c2 . Aangezien 3
een priemgetal is geldt dat de enige positieve delers van 3 de getallen 1 en 3 zijn.
Hierdoor weten we dat als 3 geen deler is van c dan is deze ook geen deler van c · c = c2 ,
dit is echter niet het geval en daarom geldt 3 | c. We kunnen dus schrijven c = 3k voor een
geheel getal k. Hiermee volgt uit 3d2 = c2 dat 3d2 = (3k)2 = 9k 2 wat impliceert dat d2 = 3k 2 .
Omdat k 2 een geheel getal is weten we dat 3 | d2 en zoals eerder uitgelegd volgt hieruit dat
3 | d. Hiermee hebben c en d de gemeenschappelijke deler 3.
Dit geeft echter een tegenspraak met het feit dat de enige gemeenschappelijke delers van c en
d de getallen 1 en −1 zijn. √
Hieruit kunnen we concluderen dat de aanname 3 + 1 ∈ Q incorrect moet zijn en dus dat
√
3+1∈ / Q.
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,49. Je zit daarna nergens aan vast.
