College aantekeningen
Aanvullende collegeaantekeningen week 6 - fundamenten van de wiskunde
Aanvullende collegeaantekeningen die het boek verduidelijken.
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Voorbeeld van de inhoud
H6.3n
• In voorbeeld 6.3.5 (op blz 204) staat dat er 22 mogelijkheden zijn. Dit kun je zien door
gebruik te maken van de stelling: als A en B eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal ver-
schillende afbeeldingen van A naar B gelijk aan |B||A| . In het voorbeeld is B = {0, 1} en
A = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ {0, 1} en i ∈ N met 1 ≤ i ≤ n}. De stelling volgt uit de opmerking
dat je voor elk element van A precies |B| verschillende keuzes hebt om een element naar toe te
sturen.
• Er was een suggestie om opgave 6.3.4 met een substitutie te doen (n vervangen door n + 1).
Dat werkte niet. Echter aan het eind staat drie vraagtekens bij een pijl op het bord en is er al een
kleine verbetering gemaakt. Nu kun je het argument wel zo krijgen zodat het een bewijs gaat
opleveren. Het komt net als de andere twee bewijzen die gegeven worden op hetzelfde neer.
H6.5
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.10. Het idee is om een afbeelding te maken van
A × C → B × D. Je weet dat er bijecties zijn f : A → B en g : C → D. Hiermee maak je de
afbeelding h : A × C → B × D door (a, c) 7→ (f (a), g(c)). Bewijs nu dat g een bijectie is door
te bewijzen zien dat g zowel injectief is als surjectief.
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.7 (deze is lastiger dan opgave 6.5.10). Ook hier wil
je een afbeelding maken, in dit geval van P(A) naar P(B). Probeer een afbeelding te vinden
(wellicht door het eerst voor een voorbeeld te doen, zeg A = {1, 2} en B = {v, w} waarbij je al
een bijectie hebt gemaakt tussen A en B, en eventueel A = {1, 2, 3} en B = {v, w, x}). Op het
bord wordt een afbeelding gegeven. Bewijs nu dat je afbeelding een bijectie is door te bewijzen
zien dat je afbeelding zowel injectief is als surjectief.
• We hebben geschetst hoe je kunt laten zien dat Q aftelbaar is. Het argument met het plaatje
staat netjes getekend in figuur 6.7.1 op blz 241 (H6.7). De stelling wordt ook bewezen (Stelling
6.7.1 op blz 240). Op het bord hebben we (na een aantal verbeteringen) een injectieve functie
gemaakt van Q naar N. Het kwam neer op de volgende functie f : Q → N door x 7→ 2a · 3b · 5i
waarbij a, b ∈ Z met a ≥ 0, b > 0 en ggd(a, b) = 1 zo zijn dat |x| = ab en waarbij i gelijk is aan
4 4
0 als x ≥ 0 en i is gelijk aan 1 als x < 0. Bijvoorbeeld f (− 12 ) = 21 · 33 · 51 (want | − 12 | = 13
dus a = 1 en b = 3, en verder is i = 1 vanwege x < 0).
• We hebben geschetst hoe je kunt zien dat R overaftelbaar is. Het bewijs staat na stelling 6.7.3
(blz 242) en in figuur 6.72 zie je het diagonaalargument.
• Aan het eind noemde ik een populair artikel dat aansluit op de zogenaamde continuümhypothese
(bestaat er een verzameling V zodat V meer elementen dan N bevat maar minder elementen dan
R). Hier de link naar het artikel: https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-
infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen