Tentamen (uitwerkingen)

Homework 6 Solutions Temple University PHYSICS 3701

0 keer verkocht

Vak
PHYSICS 3701

Instelling
PHYSICS 3701

[Meer zien]

Voorbeeld 2 van de 9 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 16 april 2023
Aantal pagina's 9
Geschreven in 2022/2023
Type Tentamen (uitwerkingen)
Bevat Vragen en antwoorden

physics 3701
2013 exercise 2
complement fvi
department of physics temple university introduction to quantum mechanics
physics 3701 instructor z e meziani solution set for homework 6 april 16
p

Volgen

ExamsConnoisseur

Lid sinds 2 jaar 479 documenten verkocht

€8,82

In winkelwagen

Op verlanglijstje

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

Department of Physics Temple University
Introduction to Quantum Mechanics, Physics 3701 Instructor: Z.-E. Meziani

Solution set for homework # 6
April 16, 2013

Exercise #2, Complement FVI , page 765

Consider an arbitrary physical system whose four-dimensional state space is spanned by a basis of four
eigenvectors |j, mz i common to Jˆ2 and Jz (j = 0 or 1; −j ≤ mz ≤ +j), of eigenvalues j(j + 1)h̄2 and mz h̄,
such that: q
J± |j, mz >= h̄ j(j + 1) − mz (mz ± 1|j, mz ± 1 > (1)
J+ |j, j >= J− |j, −j >= 0 (2)
• a) Express in terms of the kets |j, mz >, the eigenstates common to Jˆ2 and Jˆx to be denoted by
|j, mx >.

We must first form the matrix of the operator Jˆx in the basis {|j, mz >}. If we recall the following
relation
1 ˆ
Jˆx = (J+ + Jˆ− ) (3)
2
then we may use Eqs. ?? and ?? to write the matrix of the Jˆx operator in the given basis. We first
calculate the individual matrix elements. First, the Jˆ+ terms

Jˆ+ |1, 1 > = 0 (4)
√
Jˆ+ |1, 0 > = 2h̄|1, 1 > (5)
√
Jˆ+ |1, −1 > = 2h̄|1, 0 > (6)
Jˆ+ |0, 0 > = 0 (7)

then the J− terms
√
Jˆ− |1, 1 > = 2h̄|1, 0 > (8)
√
ˆ
J− |1, 0 > = 2h̄|1, −1 > (9)
Jˆ− |1, −1 > = 0 (10)
Jˆ− |0, 0 > = 0 (11)

Now we may write the operator Jˆx in matrix form, using Eq. ??. in the basis {|1, 1 >, |1, 0 > and
|1, −1 >, |0, 0 >}
0 1 0 0
 
h̄ 1 0 1 0
Jˆx = √ 

 (12)
2 0 1 0
 0
0 0 0 0

This study source was downloaded by 100000850872992 from CourseHero.com on 04-15-2023 23:56:45 GMT -05:00

https://www.coursehero.com/file/8707035/Homework-6-Solution/

, To find the eigenvalues of this matrix, it is necessary to diagonalize it.
−λ √h̄ 0 0
2
√h̄ −λ √h̄ 0
2 2 =0 (13)
0 √h̄ −λ 0
2
0 0 0 −λ

The determinant is solved in the usual way, resulting in a characteristic equation given by
−λ √h̄ 0 √h̄ √h̄ 0
2 h̄ 2 2
−λ √h̄ −λ 0 0−√ −λ 0 = 0
2 2
0 0 −λ 0 0 −λ
−λ h̄ √h̄ 0 h̄ h̄ −λ 0

0
−λ −λ −√ 2 −√ √ =0
0 −λ 2 0 −λ 2 2 0 −λ
!
2 2 h̄2 h̄2
λ λ − − =0
2 2

λ2 λ2 − h̄2 = 0 (14)

This produces four roots, two of which are zero. This λ = 0 eigenvalue is thus two-fold degenerate.
The other two eigenvalues are +h̄ and −h̄. Substitution of these eigenvalues into Eq. ?? allows us to
solve for the eigenvectors.
0 1 0 0 a a
    
h̄ 1 0 1 0b b
Jˆx |φ >= λ|φ >⇒ √ 
   
= λ  (15)
2 0 1 0 0   c   c
0 0 0 0 d d

We are therefore able to write the eigenvectors in the new basis, |j, mx > in terms of the old basis,
|j, mz >. The following are the eigenvalues that correspond to the eigenvectors in both bases, in the
order: |j, mx >, |j, mz >
0 : |0, 0 >x = |0, 0 > (16)
1
0 : |1, 0 >x = √ (|1, −1 > −|1, −1 >) (17)
2
1
+h̄ : |1, 1 >x = √ (|1, 1 > +|1, −1 > +|1, 0 >) (18)
2
1
−h̄ : |1, −1 >x = √ (|1, 1 > +|1, −1 > −|1, 0 >) (19)
2
These are the eigenstates common to the operators Jˆ2 and Jˆx
• b) Consider a system in the normalized state:

|ψ >= α|j = 1, mz = 1 > +β|j = 1, mz = 0 > +γ|j = 1, mz = −1 > +δ|j = 0, mz = 0 > (20)
Note that this state is normalized. Therefore, we must have the following relation between the
coefficients:
|α|2 + |β|2 + |γ|2 + |δ|2 = 1 (21)

This study source was downloaded by 100000850872992 from CourseHero.com on 04-15-2023 23:56:45 GMT -05:00

https://www.coursehero.com/file/8707035/Homework-6-Solution/

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper ExamsConnoisseur. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,82. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 69052 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Tentamen (uitwerkingen)

Homework 6 Solutions Temple University PHYSICS 3701

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud