Physical Chemistry - Quantum in 3D Separable Systems_lecture16
1 keer bekeken 0 aankoop
Vak
MIT Courses
Instelling
MIT Courses
This course presents an introduction to quantum mechanics. It begins with an examination of the historical development of quantum theory, properties of particles and waves, wave mechanics and applications to simple systems — the particle in a box, the harmonic oscillator, the rigid rotor and the ...
1D Systems 3D Systems
� � �
x̂ r̂ = ( x̂ ŷ ẑ ) = i x̂ + j ŷ + k ẑ
� d �� ∂ �� ∂ �� ∂
p̂ =
i dx (
p̂ = p̂x p̂y p̂z = i )
i ∂x
+j
i ∂y
+k
i ∂y
⎡⎣ x̂, p̂⎦⎤ = i� ⎡⎣ x̂, p̂x ⎤⎦ = i� ⎡ yˆ, pˆ y ⎤ = i� ⎡⎣ ẑ, p̂z ⎤⎦ = i�
⎣ ⎦
p̂2 −�2 d 2 p̂2 −�2 ∂ 2 −�2 ∂ 2 −�2 ∂ 2
Tˆ = = Tˆ = = + +
2m 2m dx 2 2m 2m ∂x 2 2m ∂y2 2m ∂y 2
ψ (x) ψ ( x, y, z )
∫ψ ( x ) Ô ψ ( x ) dx ∫ψ ( x, y, z ) Ô ψ ( x, y, z ) dx dy dz
* *
Ô = Ô =
By fiat, operators corresponding to different axes commute with one another.
ˆ ˆ = yx
xy ˆˆ pˆ z yˆ = yp
ˆˆz pˆ z pˆ x = pˆ x pˆ z etc.
Further, operators in one variable have no effect on functions of another:
ˆ ( y ) = f ( y ) xˆ
xf pˆ z f ( x ) = f ( x ) pˆ z f * ( z ) pˆ x = pˆ x f * ( z ) etc.
The Time Independent Schrödinger Equation becomes:
⎡ �2 ⎛ ∂ 2 ∂2 ∂2 ⎞ ⎤
⎢ − ⎜ 2 + 2
+ 2 ⎟
+ V ( x̂, ŷ, ẑ ) ⎥ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
⎣ 2m ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎦
∇ 2 the Laplacian
⎡ �2 2 ⎤
⇒ ⎢ − 2m ∇ + V ( x̂, ŷ, ẑ ) ⎥ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
⎣ ⎦
�2 2
Ĥ = − ∇ + V ( x̂, yˆ, zˆ ) Hamiltonian operator in 3D
2m
Hˆψ ( x, y , z ) = Eψ ( x, y , z ) 3D Schrödinger equation
(Time Independent)
Separation of variables
, 5.61 Fall 2007 Separable Systems page 2
IF V ( x̂, ŷ , ẑ ) = Vx ( x̂ ) + V y ( ŷ ) + Vz ( ẑ )
ˆ ⎡ �2 ∂ 2 ⎤ ⎡ �2 ∂ 2 ⎤ ⎡ �2 ∂ 2 ⎤
H ( x, y, z ) = ⎢ − 2
+ V x ( ˆ
x ) + −
⎥ ⎢ 2m ∂y 2 + V y ( ˆ
y ) + −
⎥ ⎢ 2m ∂z 2 + Vz ( ˆ
z ) ⎥
then ⎣ 2m ∂x ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= Ĥ x + Ĥ y + Ĥ z
⇒ Schrödinger’s Eq. becomes:
⎡ Ĥ x + Ĥ y + Ĥ z ⎤ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
⎣ ⎦
Then try solution of form ψ (x, y, z )= ψ x (x )ψ y (y )ψ z (z )
(separation of variables)
Where we assume that the 1D functions satisfy the appropriate 1D TISE:
Ĥ xψ x ( x ) = E xψ x ( x )
Ĥ yψ y ( y ) = E yψ y ( y )
Ĥ zψ z ( z ) = E zψ z ( z )
First term:
Ĥ xψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z ) = ψ y ( y )ψ z ( z ) Ĥ xψ x ( x ) = ψ y ( y )ψ z ( z ) E xψ x ( x )
= E xψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z )
Same for Ĥ y and Ĥ z ⇒
Ĥ ψ = E ψ
⎡ Hˆ x + Hˆ y + Hˆ z ⎤ ⎡⎣ψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z )⎤⎦ = ( E x + E y + E z ) ⎣⎡ψ x ( x )ψ y ( y )ψ z ( z )⎦⎤
⎣ ⎦
E = Ex + E y + Ez
Thus, if the Hamiltonian has this special form, the eigenfunctions of the 3D
Hamiltonian are just products of the eigenfunctions of the 1D Hamiltonian and
the situation is equivalent to doing three separate 1D problems.
Conclusion: Wavefunctions multiply and the energies add if Ĥ is separable into
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,43. Je zit daarna nergens aan vast.
