Physical Chemistry -The Harmonic Oscilator Energies and Wavefunctions via Raising and Lowering Operators_lecture12_sup1
1 keer bekeken 0 aankoop
Vak
MIT Courses
Instelling
MIT Courses
This course presents an introduction to quantum mechanics. It begins with an examination of the historical development of quantum theory, properties of particles and waves, wave mechanics and applications to simple systems — the particle in a box, the harmonic oscillator, the rigid rotor and the ...
Harmonic Oscillator Energies and Wavefunctions
via Raising and Lowering Operators
We can rearrange the Schrödinger equation for the HO into an interesting form ...
1 ⎡⎛ ! d ⎞ 2⎤
2
1
⎢⎜ ⎟ + ( mω x ) ⎥ ψ = ⎡ p 2 + ( mω x )2 ⎤ ψ = Eψ
2m ⎢⎣⎝ i dx ⎠ ⎥⎦ 2m ⎣ ⎦
with
1
H= ⎡ p 2 + ( mω x )2 ⎤
2m ⎣ ⎦
which has the same form as
u 2 + v 2 = ( iu + v )( −iu + v ) .
We now define two operators
1
a± ≡ ( ∓ip + mω x )
2!mω
that operate on the test function f(x) to yield
( a a ) f ( x ) = ⎛⎝ ( ip + mω x )( −ip + mω x )⎞ f ( x )
1
− +
2!mω ⎠
1
⎡ p 2 + ( mω x ) − imω (xp − px) ⎤ f (x)
2
=
2!mω ⎣ ⎦
= { 1
2!mω
( i
)
p 2 + ( mω x ) − [ x, p ] f ( x )
2
2! }
a− a+ =
1
2!mω
( 1
p 2 + ( mω x ) + =
2 1
2 !ω
H+ )
1
2
Which leads to a new form of the Schrödinger equation in terms of a+ and a- …
⎛ 1⎞
H ψ = !ω ⎜ a− a+ − ⎟ ψ
⎝ 2⎠
If we reverse the order of the operators-- a− a+ ⇒ a+ a− -- we obtain …
So, these are operators connecting states and if we can find one state then we can
use them to generate other wavefunctions and energies. In the parlance of the
trade the a± are known as LADDER operators or
a+ = RAISING and a- = LOWERING operators.
We know there is a bottom rung on the ladder ψ0 so that
a−ψ 0 = 0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,43. Je zit daarna nergens aan vast.
